Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

CAPITOLO 19Equazioni a derivate parziali del primo ordineLe equazioni semilineari o quasilineari del primo ordine ammettonoil metodo di soluzione per caratteristiche, che forniscela soluzione in forma esplicita, ed ha anche una interessanteinterpretazione geometrica.19.1. Equazioni semilineariUn’e.d.p. semilineare del primo ordine èa(x,y)u x +b(x,y)u y = c(x,y,u), (19.1)ove le ipotesi di regolarità su a, b, c, u saranno specificate sotto. Se c =c 1 (x,y)u+c 2 (x,y), l’equazione si dice lineare e assume la formaa(x,y)u x +b(x,y)u y = c 1 (x,y)u+c 2 (x,y). (19.2)Se c 2 ≡ 0, e u 1 , u 2 sono soluzioni, anche λ 1 u 1 + λ 2 u 2 è soluzione, per ogniλ 1 , λ 2 ∈ R.Definizione 19.1. Problema di Cauchy PC per (19.1):Assegnati:• una curva γ ⊂ R 2 regolare semplice, e una sua parametrizzazioneregolare Ψ(s) = (ψ 1 (s), ψ 2 (s)), s ∈ I intervallo aperto;• un dato u 0 : I → R;trovare un aperto Q di R 2 che contenga γ, e una u ∈ C 1 (Q), tale cheau x +bu y = c, in Q, (19.3)u = u 0 , su γ. (19.4)La γ si dice curva che porta il dato, e u 0 si dice dato di Cauchy.□La (19.3) va intesa nel senso chea(x,y)u x (x,y)+b(x,y)u y (x,y) = c(x,y,u(x,y)), per ogni (x,y) ∈ Q.La (19.4) va intesa nel senso cheu(Ψ(s)) = u 0 (s), per ogni s ∈ I. (19.5)Si noti che la (19.5), e la richiesta che u ∈ C 1 (Q), implicano che u 0 debbaessere in C 1 (I).179