Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

40 DANIELE ANDREUCCIEsempio 4.16. Consideriamo il caso in cui Ω = (−π/2, π/2),u 0 (x,t) = 1, − π 2 ≤ x ≤ π ,t = 0,{2u 0 (x,t) = 0, x ∈ − π 2 , π },t > 0.2In questo caso il dato u 0 non è continuo. Definiamov(x,t) = Ce −α2 Dt cos(αx),con α ∈ (0,1), C > 0 da scegliere. Intanto è chiaro che v ≥ u 0 per t > 0 e|x| = π/2. Per ottenere v(x,0) ≥ u 0 (x,0) = 1, occorre che(min Ccos(αx) = Ccos α π )1≥ 1, cioè C = ( ) .|x|≤ π 22cos α π 2Pertanto0 ≤ u(x,t) ≤ e −α2 t cos(αx)( ) , − πcos 2 < x < π 2α π 2,0 < t.Si noti che qui la scelta di α ∈ (0,1) è arbitraria.□•4.5. Il lemma di Hopf per l’equazione di LaplaceLemma 4.17. (Hopf) Sia u : Ω → R regolare come richiesto alla soluzione diPN L . Se u soddisfa ∆u ≤ 0 in Ω, non è costante in Ω, e assume il minimo in¯x ∈ ∂Ω, allora ∂u∂ν(¯x) < 0. Questosein ¯x lafrontiera di Ω èabbastanza regolare,ossia se esiste una sfera aperta B ⊂ Ω, tale che ∂B∩∂Ω = {x}.(La dimostrazione viene omessa.)Si noti che la disuguaglianza non stretta ∂u∂ν(¯x) ≤ 0 è ovvia: il contenutodel lemma di Hopf sta proprio nella dimostrazione della disuguaglianzastretta. Un enunciato analogo vale se u soddisfa ∆u ≥ 0 in Ω, e assume ilmassimo in ¯x ∈ ∂Ω.Con questo risultato si può ottenere una dimostrazione del teorema diunicità (a meno di costanti additive) per soluzioni di PN L .4.6. Il lemma di Hopf per l’equazione del caloreLemma 4.18. (Hopf parabolico) Sia u : Q T → R regolare come richiesto allasoluzione di PN C . Se u soddisfa u t − D ∆u ≥ 0 in Q T , assume il minimo in(¯x,¯t), con ¯t > 0, ¯x ∈ ∂Ω, e non è costante in Q¯t, allora ∂u∂ν (¯x,¯t) < 0. Questose in ¯x la frontiera di Ω è abbastanza regolare, ossia se esiste una sfera apertaB ⊂ Ω, tale che ∂B∩∂Ω = {x}.(La dimostrazione viene omessa.)Si noti che la disuguaglianza non stretta ∂u∂ν (¯x,¯t) ≤ 0 è ovvia: il contenutodel lemma di Hopf sta proprio nella dimostrazione della disuguaglianzastretta. Un enunciato analogo vale se u soddisfa u t − D ∆u ≤ 0 in Q T , eassume il massimo per t > 0.