Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

1.6. IL SIGNIFICATO LOCALE DEL LAPLACIANO 13Quindi, per ε → 0 si ha da (1.45)∫ ∫ (∂uΨ N ∆udy = Ψ N∂ν −u ∂Ψ )Ndσ y −(N−2)σ N u(x), (1.48)∂νΩ∂Ωcioè la (1.44) nel caso N ≥ 3.Il caso N = 2 richiede solo qualche modifica formale in (1.47).Teorema 1.6. Sia u ∈ C 2 (Ω). Per ogni x ∈ Ω e per ogni B R (x) ⊂ Ω vale∫1u(x) =σ N R N−1 u(y)dσ y − 1 ∫(Ψ N (x−y)−Ψ N (R)) ∆u(y)dy.γ N∂B R (x)B R (x)Dimostrazione. Scegliamo Ω = B R (x) in (1.44). Si ottieneu(x) = 1γ NΨ N (R)∫∂B R (x)∂u∂ν (y)dσ y − 1 ∫∂Ψ Nγ N ∂r (R)− 1γ N∫B R (x)∂B R (x)u(y)dσ y□(1.49)Ψ N (x−y) ∆u(y)dy. (1.50)Applicando il teorema della divergenza al primo integrale di superficienella (1.50), si ottiene la (1.49).□Si noti che nell’ultimo integrale nella (1.49) valeΨ N (x−y)−Ψ N (R) ≥ 0,e quindi tale integrale ha il segno opposto a quello del laplaciano di u, sequesto ha un segno costante. Più in particolare si haCorollario 1.7. (Formula della media) Se u ∈ C 2 (Ω) soddisfa ∆u = 0 inΩ, allora vale∫1u(x) =σ N R N−1 u(y)dσ y , (1.51)∂B R (x)per ogni x ∈ Ω e per ogni B R (x) ⊂ Ω.Se invece ∆u ≤ 0 [∆u ≥ 0] in Ω, allora il segno di uguaglianza nella (1.51)deve essere sostituito con ≥ [≤].Osservazione 1.8. Il Corollario 1.7 stabilisce che − ∆u ha il significato di‘eccesso’ di u(x) rispetto alla sua media integrale. Dunque sia l’equazionedel calore (1.6), che quella delle onde (1.39), predicono che lo scostamentodi u dalla sua media si traduce in un termine ‘cinetico’ (di primo o secondoordine in t rispettivamente) che guida l’evoluzione della soluzione neltempo.Nel caso stazionario (1.20), tale scostamento è nullo (o potrebbe risultareassegnato in presenza, ad esempio, di carichi distribuiti sulla membrana).□