Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

10.4. DIPENDENZA CONTINUA DAI DATI. 105Dalla (10.29) si ottiene poi subito la (10.28).Teorema 10.16. Se u 0 ∈ C 3 (R 2 ), e u 1 ∈ C 2 (R 2 ), la u definita da (10.28) è diclasse C 2( R 2 ×[0, ∞) ) e soddisfa (10.22)–(10.24).La dimostrazione del Teorema 10.16 viene omessa.10.3.1. Confronto tra le soluzioni dell’equazione delle onde in N = 1, 2,3. L’integrale nella formula di Kirchhoff (10.16) è calcolato sulla superficiesferica |y−x| = ct: questo significa che le soluzioni del problema di Cauchyin dimensione N = 3 risentono di una perturbazione dei dati inizialisolo nell’intervallo di tempo in cui questasuperficie attraversa la zona dovei dati sono perturbati. (Si potrebbe vedere che questo è vero anche inogni dimensione dispari N ≥ 5.)Viceversa, l’integrale nella formula diPoisson(10.28) ècalcolato sulcerchio|y−x| ≤ ct: questo significa che le soluzioni del problema di Cauchy indimensione N = 2risentonodiunaperturbazionedeidatiiniziali pertuttii tempi successivi al primo in cui questo cerchio raggiunge la zona dove idati sono perturbati. (Si potrebbe vedere che questo è vero anche in ognidimensione pari N ≥ 4.)Infine, nel caso N = 1, la formula di D’Alembert (10.4) mostra che il comportamentodelle soluzioni è misto: la parte dovuta al dato u(x,0) è transientecome nel caso N = 3, la parte dovuta al dato u t (x,0) è permanentecome nel caso N = 2.•Esercizio 10.17. Se i dati iniziali u 0 e u 1 sono a supporto compatto, la udefinita dalla (10.28) tende a zero per t → ∞. Determinare la velocità diconvergenza di ognuno dei tre termini. Risposta□10.4. Dipendenza continua dai dati.Per il problema di Cauchy per l’equazione delle onde vale il seguenteteorema di dipendenza continua (vedi anche la Sezione 2.6).Teorema 10.18. Sia u, rispettivamente ū, definita dalla formula di D’Alembert(10.4) con dati u 0 , u 1 , rispettivamente con dati ū 0 , ū 1 . Qui basta supporre u 1 , ū 1integrabili su ogni intervallo limitato di R. Allora si hasupx∈R|u(x,t)−ū(x,t)| ≤ sup|u 0 (x)−ū 0 (x)|+tsup|u 1 (x)−ū 1 (x)|, (10.30)per ogni t ≥ 0.x∈RDimostrazione. Dalla formula di D’Alembert segue subito per t ≥ 0|u(x,t)−ū(x,t)| ≤ 1 2 |u 0(x−ct)−ū 0 (x−ct)|x∈R+ 1 2 |u 0(x+ct)−ū 0 (x+ct)|+ 1 2c≤ supR= supR|u 0 −ū 0 |+ 1 2cx+ct ∫x−ctx+ct ∫x−ctsup|u 1 −ū 1 |dsR|u 0 −ū 0 |+tsup|u 1 −ū 1 |.R□|u 1 (s)−ū 1 (s)|ds