Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

19.2. CURVE CARATTERISTICHE E CARATTERISTICHE AL SUOLO 18119.2.2. Esempio. Risolviamo il problema di CauchyDunqueu x +2u y = u, in R 2 ,u(s,−s) = s 2 , 0 < s < ∞.γ = {y+x = 0,x > 0}; ψ 1 (s) = s, ψ 2 (s) = −s; u 0 (s) = s 2 ,per 0 < s < ∞.1) Fissiamo s > 0. Calcoliamo la caratteristica al suolo per (ψ 1 (s), ψ 2 (s)).Questa è la soluzione del problema di Cauchyossia (la retta)dϕ 1dτ = 1,dϕ 2dτ = 2,(ϕ 1 (0), ϕ 2 (0)) = (s,−s),(ϕ 1 , ϕ 2 )(τ) = (s+τ,−s+2τ), τ ∈ R.2) Dobbiamo ora risolvere sulla caratteristica al suolo trovata nel punto 1)il problema di Cauchy per U(τ) = u(ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ))Si ottienedUdτ = U,U(0) = s 2 .(dalla e.d.p.)(dal dato di Cauchy)U(τ) = U(0)e τ = s 2 e τ , −∞ < τ < ∞.3) Dobbiamo passare dalle variabili (s, τ) alle variabili (x,y). Fissiamo(¯x,ȳ) ∈ R 2 , e cerchiamo le soluzioni del sistema¯s+ ¯τ = ¯x,−¯s+2¯τ = ȳ.Le soluzioni ammissibili devono soddisfare ¯s > 0, perché la restriziones > 0 è stata imposta nella definizione del problema. Non si sono invecetrovate restrizioni su τ. Si ottieneammissibile in¯s = 2¯x−ȳ3, ¯τ = ¯x+ȳ3Ω = {(¯x,ȳ) | 2¯x−ȳ > 0}.4) Infine operiamo la sostituzione di variabili nella U(¯τ), ottenendoo, tornando alle variabili x e y,u(¯x,ȳ) = ¯s 2 e¯τ = 1 9 (2¯x−ȳ)2 e 1 3 (¯x+ȳ) ,,u(x,y) = 1 9 (2x−y)2 e 1 3 (x+y) , (x,y) ∈ Ω.•