Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

94 DANIELE ANDREUCCInella (9.39). Raccogliendo i termini che dipendono solo da ciascuna delledue variabili indipendenti si har 2 R ′′ +rR ′+ λr 2 = − Φ′′= µ ∈ R, (9.41)RΦove l’ultima uguaglianza segue dall’usuale considerazione che il valorecomune dei primi due membri non deve dipendere né da r, né daϕ. In particolare la Φ deve quindi soddisfare, imponendo la necessariaperiodicità,e dunque si deve averee perciòΦ ′′ + µΦ = 0, − π < ϕ < π,Φ(−π) = Φ(π),Φ ′ (−π) = Φ ′ (π),µ = n 2 , n = 0,1,2,... (9.42)Φ(ϕ) = k 1n cos(nϕ)+k 2n sin(nϕ); (9.43)per n = 0 si ha la soluzione costante. Quindi l’equazione, o meglio lafamiglia di equazioni, per R divieneR ′′ + 1 r R′ +(λ− n2 )r 2 R = 0, 0 < r < L, (9.44)R ∈ C ( [0,L] ) , (9.45)R(L) = 0. (9.46)La(9.45)vaimposta,perchél’equazione(9.44), cheèsingolarenell’origine,ammette anche soluzioni illimitate per r → 0, che noi dobbiamo escluderedato che cerchiamo u regolare in tutto il cerchio.Osserviamo che λ è ancora da scegliere; sappiamo però che dovrà esserepositivo, per il Teorema 5.7. Passiamo alle variabilix = √ ( x)λr, y(x) = R √ ,λscelte per far scomparire la costante λ dall’equazione (9.44) che infattidivieney ′′ + 1 x y′ +(1− n2 )x 2 y = 0. (9.47)L’equazione differenziale ordinaria (9.47) prende il nome di equazione diBessel. Le sue soluzioni, dette quindi funzioni di Bessel, formano un importantecapitolo della teoria delle funzioni speciali.Qui ricorderemo solo i fatti che ci sono necessari. Come tutte le equazionilineariomogeneedelsecondoordine,anchela(9.47)ha, perciascun fissatovalore di n, un integrale generato dalle combinazioni lineari di due soluzionilinearmente indipendenti. Una di queste è continua fino su x = 0, el’altra no: perciò, per quanto detto sopra, dobbiamo scartare quest’ultima.Denotando con J n la soluzione regolare, e tornando alle variabili polari,avremo quindiR(r) = k n J n ( √ λr). (9.48)