Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

CAPITOLO 1Formulazione delle equazioniIntroduciamo alcune equazioni alle derivate parziali (e.d.p.) comemodelli di vari fenomeni fisici. Lo scopo è quello di mostrarecome le e.d.p. intervengano nei modelli matematici più diversi,come quelli basati su leggi fenomenologiche o su argomenti di fisicastatistica (equazione del calore); principi variazionali (equazionedi Laplace); leggi della meccanica dei continui (equazionedelle onde).Infine ci soffermiamo sul significato dell’operatore laplaciano,che ricorre nelle e.d.p. che ci interessano.1.1. Legge di Fourier ed equazione del caloreLa legge di Fourier assume che il flusso di calore in un corpo sia dato daJ = −K∇u, (1.1)ove la K > 0 rappresenta la conduttività e u = u(x,t) la temperatura.Quindi la densità di flusso entrante in un dominio spaziale A ⊂ R 3 èJ · ν interna = −K∇u·ν interna = K∇u·ν = K ∂u∂ν , (1.2)ove ν denoterà sempre la normale esterna al dominio A. Questa densità èdefinita, come è ovvio, sulla frontiera ∂A.Supponiamo dunque che il fenomeno di diffusione del calore abbia luogoin un aperto Ω ⊂ R 3 , e obbedisca la legge di Fourier.La variazione di energia termica in un qualunque sottodominio A ⊂ Ω,tra i due istanti t 0 e t 1 , è data dalla differenza∫A∫cρu(x,t 1 )dx−Acρu(x,t 0 )dx =∫ t 1 ∫t 0Acρ ∂u (x,t)dxdt, (1.3)∂tove le costanti c, ρ > 0 rappresentano il calore specifico e la densità.D’altra parte, in assenza di sorgenti di calore, tale variazione deve coinciderecon la quantità di calore scambiato attraverso la frontiera di Anell’intervallo dei tempi (t 0 ,t 1 ): tenendo presente la (1.2), si ha quindi∫ t 1 ∫t 0Acρ ∂u ∫t 1 ∫∂t (x,t)dxdt = K ∂ut 0∂A∫t 1 ∫∂ν dσdt = t 0ove si è usato il teorema della divergenza in A.Adiv(K∇u)dxdt, (1.4)3