Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

164 DANIELE ANDREUCCI17.2. Forme quadratiche ed equazioni del secondo ordineRicordiamo che una forma quadraticasi diceq(x,y) = Ax 2 +2Bxy+Cy 2 , (x,y) ∈ R 2 ,definita positiva se q(x,y) > 0 per ogni (x,y) ̸= (0,0);definita negativa se q(x,y) < 0 per ogni (x,y) ̸= (0,0);semidefinita positiva se q(x,y) ≥ 0 per ogni (x,y);semidefinita negativa se q(x,y) ≤ 0 per ogni (x,y);indefinitaLa matricesi dice associata a q, perchése q(x,y) prende valori sia positivi che negativi.A =q(x,y) = A(x,y) t·(x,y) t =( )A BB C( ) (A B x x· .B C)(y y)La matrice A si dice definita [rispettivamente, semidefinita, indefinita] seq è definita [rispettivamente, semidefinita, indefinita].È noto che q (e quindi A) è definita se e solo seè indefinita se e solo sedetA = AC−B 2 > 0,detA = AC−B 2 < 0,ed è semidefinita sedetA = AC−B 2 = 0.Dunquelaclassificazione delleequazionilineari delsecondoordinesipuòriformulare così:Definizione 17.4. L’equazione (17.1) si dice iperbolica se A è indefinita,parabolica se A è semidefinita (ma non definita), ed ellittica se A èdefinita.□Consideriamo l’equazione17.3. Equazioni a coefficienti non costantiLu := A(x,y)u xx +2B(x,y)u xy +C(x,y)u yy = f(x,y,u,u x ,u y ), (17.13)posta in un aperto Ω ⊂ R 2 . Qui A, B, C sono funzioni continue in Ω, chenon si annullano mai tutte insieme. Su f e u si fanno le ipotesi già vistenella Sezione 17.1. Indichiamo( )A(x,y) B(x,y)A(x,y) = .B(x,y) C(x,y)Definizione 17.5. L’equazione (17.13) si dice iperbolica in (x,y) se A(x,y)è indefinita, parabolica in (x,y) se A(x,y) è semidefinita (ma non definita),ed ellittica in (x,y) se A(x,y) è definita.□