Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

19.3. ESISTENZA E UNICITÀ DI SOLUZIONI 183Teorema19.4. Sianoa, b,c ∈ C 1 (Q 1 ),esia γunacurvasempliceregolare contenutanellaproiezionedi Q 1 su R 2 ,conparametrizzazione Ψ(s) = (ψ 1 (s), ψ 2 (s)),s ∈ I, I intervallo aperto. Valgaa(Ψ(s))ψ ′ 2(s)−b(Ψ(s))ψ ′ 1(s) ̸= 0, per ogni s ∈ I. (19.11)Allora, per ogni dato u 0 ∈ C 1 (I), esiste un intorno aperto Q di γ ove esisteun’unica soluzione del problema di Cauchy PC.La dimostrazione del Teorema precedente viene omessa. La parte riguardantel’esistenza in sostanza si basa sulla costruzione di u mediante ilprocesso di integrazione per caratteristiche visto più sopra. Rimarrebberocomunque due punti da chiarire in modo rigoroso: i) le caratteristiche alsuolo uscenti dalla curva che porta il dato coprono in effetti un aperto delpiano che contiene la curva medesima; ii) la u risulta di classe C 1 in taleaperto, nelle variabili (x,y).La dimostrazione dell’unicità di soluzioni si basa invece sul Teorema 19.2.Osservazione 19.5. La (19.11) si può anche scrivere come)Φ′det(0Ψ ′ ̸= 0, (19.12)lungo tutta la γ, che esprime in sostanza come γ non sia tangente anessuna caratteristica al suolo.□Proposizione 19.6. Nelle ipotesi del Teorema 19.4, le derivate prime u x , u y di usulla curva γ sono ottenibili come soluzioni del sistema:au x +bu y = c,ψ ′ 1 u x + ψ ′ 2u y = u ′ 0,ove si intende che tutte le funzioni sono calcolate su (s, Ψ(s)), s ∈ I.(19.13)Dimostrazione. Consideriamo il sistemaformato dalla e.d.p.,ristrettaallaγ, e dall’equazione ottenuta derivando in s la (19.5), ossia il sistema(19.13), che più in dettaglio si scrivea(Ψ(s))u x (Ψ(s))+b(Ψ(s))u y (Ψ(s)) = c ( Ψ(s),u 0 (Ψ(s)) ) ,ψ ′ 1(s)u x (Ψ(s))+ψ ′ 2(s)u y (Ψ(s)) = u ′ 0(s).(19.14)Questo è appunto un sistema lineare nelle incognite u x (Ψ(s)), u y (Ψ(s)).Per ogni fissato s il determinante del sistema coincide con la quantità in(19.11), e quindi il sistema è non singolare e la soluzione esiste unica.Questo permette di ricavare le funzioniu x (Ψ(s)), u y (Ψ(s)), s ∈ I. (19.15)Osservazione 19.7. La (19.11) consente inoltre di ricavare tutte le derivatedi u sulla curva γ, almeno finché la regolarità dei dati e dei coefficienti lopermette. Le derivate successive si trovano in modo simile a quanto visto□