Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

APPENDICE AIntegrazione di funzioni non continueLe funzioni considerate in questo capitolo non sono in generecontinue nel loro dominio di definizione; vogliamo descrivere inbrevealcuneproprietàdell’integralediLebesgue,cheèmoltopiùpotente di quello di Riemann, e in pratica necessario per trattaree.d.p.. Una trattazione rigorosa dell’argomento è inattuabile quiper motivi di complessità e lunghezza; diamo invece alcune ideeintroduttive, e metodi di calcolo.In particolare sono usati nel corso gli Esempi A.10, A.11, A.12.A.1. Insiemi di misura (di Lebesgue) nullaPer ogni sfera aperta B ⊂ R N si definisce il volume di B|B| = ω N r N ,se B = {x ∈ R N | |x−x 0 | < r};ω N è quindi il volume di una sfera di raggio 1, eω 1 = 2, ω 2 = π, ω 3 = 4 π, ...3Definizione A.1. Un insieme E ⊂ R N si dice di misura nulla secondoLebesgue se e solo se, per ogni prefissato ε > 0, esiste una successione{B k } ∞ k=1 di sfere aperte di RN tali cheE ⊂∞⋃B k ,k=1∞∑k=1|B k | ≤ ε. (A.1)Esempio A.2. L’insieme dei numeri razionali di [0,1], ossia E = Q∩[0,1]ha misura nulla in R. La dimostrazione vale per ogni insieme numerabile:scriviamoE = {q k } ∞ k=1 .Fissiamo ε > 0 e definiamo le sfere di R (ossia gli intervalli)(B k = q k − ε2 k+1,q k + ε )2 k+1 , k ≥ 1.È ovvio che E ⊂ ∪ k B k , e∞∑k=1|B k | =∞∑k=12 ε = ε.2k+1 Si noti che ∪ k B k è un aperto denso, ma ‘di misura piccola’ in [0,1].193□□