Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

B.3. COORDINATE POLARI IN DIMENSIONE N 209(Si è usata la comune notazione degli integrali ripetuti per denotare integraliinterni uno all’altro.)Osservazione B.2. Per esempio, prendendo f = 1, R = 1 si haω N =∫B 1 (0)dx =∫ 10r N−1 dr∫∂B 1 (0)∫1dσ ϕ = σ N0r N−1 dr = σ NN .B.3.1. Il laplaciano di funzioni radiali. Calcoliamo il laplaciano in coordinatepolari, limitandoci a funzioni radiali: premettiamo chediv x|x| = divx x−x·|x| |x| 3 = N|x| − 1|x| = N−1 .|x|Dunque se f ∈ C 2 ((0, ∞)), si ha[∆[f(|x|)] = div∇[f(|x|)] = div f ′ (|x|) x ]|x|= f ′′ (|x|) x|x| · x|x| + f′ (|x|) N −1 = f ′′ (|x|)+ f ′ (|x|) N −1 .|x| |x|Con la notazione delle coordinate polari, si scrive∆[f(r)] = f ′′ (r)+ N−1rf ′ (r) = 1r N−1 ddr( )r N−1 f ′ (r) .□•