Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

CAPITOLO 15Trasformata di LaplaceLa trasformata di Laplace è collegata alla trasformata di Fourier,ma esiste per funzioni definite su una semiretta, il che la rendeidonea a trattare problemi ai valori iniziali. Introduciamone leproprietà più elementari, e qualche applicazione.15.1. DefinizioneDefinizione 15.1. Sia f ∈ C ( [0, ∞) ) , ed esista s 0 ∈ R tale che per s > s 0 lafunzione x ↦→ e −sx f(x) è integrabile in [0, ∞). Allora si poneL[f](s) =∫ ∞0e −sx f(x)dx, s > s 0 .La funzione L[f] si dice trasformata di Laplace di f.Talvolta, se necessario, si userà la notazione L[f(x)](s) (di per sé abusiva)per chiarire la dipendenza da x di f.Formalmente si ha, per f : R → R,L[f](s) = F[fχ [0,∞) ](is), (15.1)ove F è la trasformata di Fourier (vedi Capitolo 14).Osservazione 15.2. Si potrebbe dimostrare che la trasformata di Laplacedi f è continua in s > s 0 e infinitesima per s → ∞. □□15.2. Proprietà elementari della trasformata di Laplace15.2.1. Linearità. L è lineare, ossia se e −sx f 1 (x), e −sx f 2 (x) sono integrabilisu [0, ∞) e c 1 , c 2 ∈ R, alloraL[c 1 f 1 +c 2 f 2 ](s) = c 1 L[f 1 ](s)+c 2 L[f 2 ](s). (15.2)15.2.2. Trasformazione di derivate. Se f ∈ C 1( [0, ∞) ) , e•e −sx f(x),sono integrabili su [0, ∞), allorae −sx f ′ (x)L[f ′ ](s) = sL[f](s)− f(0). (15.3)151