Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

CAPITOLO 2Problemi al contornoSpieghiamo il significato generale dei problemi al contorno, chesono posti in un dominio spaziale, o spazio temporale nel casodelle equazioni di evoluzione, noto a priori.Sulla frontiera del dominio (o su parti di essa) vanno prescrittidati opportuni. Nelle applicazioni e nella teoria appaiono inmodo naturale problemi corrispondenti a dati poco regolari, adesempio discontinui sulla frontiera.2.1. Significato dei problemi al contornoUna classe importante di problemi per e.d.p. del secondo ordine è costituitadai problemi ai valori al contorno. Questi problemi sono detti ancheai valori iniziali e al contorno quando siano posti per equazioni di evoluzione(come l’equazione del calore o quella delle onde). Infatti in questocaso è necessario prescrivere anche dei dati al tempo iniziale.Neiproblemial contornosi assegnaapriori il dominio sucui dovràesseredefinita la soluzione, e questa richiesta è in genere essenziale nel risolvereil problema. Si consideri per esempio il problema∆u = 0, in Ω ⊂ R 2 , (2.1)u(x,y) = 0, x 2 +y 2 = 1. (2.2)Se si chiede solo che Ω sia un aperto che contiene la curva che porta ildato, cioè la circonferenza di centro l’origine e raggio 1, questo problemaha (almeno) l’infinità di soluzioniu(x,y) = αln ( x 2 +y 2) , in Ω = R 2 \{(0,0)}, (2.3)al variare del parametro α ∈ R.Prendendo il punto di vista dei problemi al contorno, cerchiamo invecele soluzioni definite in tutto il dominio di cui la curva che porta il dato èfrontiera, ossia il cerchio{(x,y) | x 2 +y 2 < 1}.Si dimostra allora che esiste una unica soluzione del problema, che quindicome è ovvio è quella identicamente nulla.Quindi nei problemi al contorno è sufficiente prescrivere un solo dato alcontorno; quando questo è prescritto come il valore dell’incognita u siparla di problema di Dirichlet, mentre se è prescritto il valore della derivatanormale di u sulla frontiera di Ω si parla di problema di Neumann.Si tenga presente che una seconda informazione sulla soluzione è comunqueassegnata, come restrizione sul suo dominio di definizione.17