Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

8.5. IL FENOMENO DI GIBBS 77Scegliamo una (per ora) qualunque successione 0 < ε k < π decrescente azero, e valutiamoS k (ε k ) ==k ∫1ε k∑n=1n sin(nε k) =∫ ε k00k∑n=1[(sin k+12)x2sin ( ) − 1 ]dx,x22cos(nx)dxove abbiamo usato la (C.1). Trasformiamo ancora l’espressionetrovata percalcolarne il limite in modo più semplice:oveJ 1 (k) =∫ ε k0S k (ε k ) =∫ ε k0sin ( k+ 1 2)xdx+ J 1 (k)+ J 2 (k),x[12sin ( ) − 1 ] (sin k+ 1 )xdx,xx 22J 2 (k) = − ε k2 .È immediato che J 2 (k) → 0; vale anche J 1 (k) → 0 perché l’integrando èlimitato su (0, π) da una costante indipendente da k (la quantità in parentesiquadre tende a zero per x → 0). Quindi, cambiando variabiled’integrazione,Scegliamo oraS k (ε k ) =(k+∫1 2 )ε k0sinzzdz+o(1).ε k = pk+ 1 ,2per il p ∈ (0, π] tale che y = G(p). Per questa scelta di ε k si ha dunque∫ plim S k(ε k ) = G(p) =k→∞ove G è la funzione definita nel Lemma 8.8.0sinzzOsservazione 8.10. Il fenomeno di Gibbs, ossia il Teorema 8.9, è un punto critico nell’approssimazionedi funzioni con seriedi Fourier;si veda, per confronto, l’Osservazione11.7.D’altra parte, si deve osservare che:(1) La serie di f converge uniformemente in ogni intervallo [c, π], per ogni fissato 0