Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

9.5. AUTOFUNZIONI NEL CERCHIO 95Questa scelta soddisfa (9.44) e (9.45); resta da imporre la condizione alcontorno (9.46), e qui sceglieremo i valori ammissibili di λ. Dovrà essereJ n ( √ λL) = 0. (9.49)In effetti per ogni fissato n la J n ha una successione crescente di zeripositiviz n0 ,z n1 ,... z ni → ∞, i → ∞.Dovremo quindi scegliere per λ i valori( zni) 2.λ ni =(9.50)LRiassumendo, abbiamo trovato per il problema (9.37)–(9.38) la seguentesuccessione di autofunzioni, che esprimiamo in coordinate polari,γ 0 ni cos(nϕ)J n( √ λ ni r), γ 1 ni sin(nϕ)J n( √ λ ni r), (9.51)ove n ≥ 1 e λ ni sono scelti come sopra. Per n = 0 si hanno solo leautofunzioniγ 0 0i J 0( √ λ 0i r). (9.52)Lecostanti γ 0 ni e γ1 ni siscelgonopernormalizzareleautofunzioniin L2 (B L (0)).Si potrebbe vedere che questa successione di autofunzioni coincide conquella la cui esistenza è affermata dal Teorema 9.1; in particolare essa formaun sistema ortonormale completo, che quindi può essere usato persviluppare in serie soluzioni di problemi di Dirichlet.Per esempio la soluzione del problema di vibrazione di una membranacircolareu tt −c 2 ∆u = 0,u = 0,ammette la rappresentazioneu(x,t) =in B L (0)×(0, ∞),su ∂B L (0)×(0, ∞),u(x,0) = u 0 (x), x ∈ B L (0),u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ B L (0),∞∑ [α ni (t)cos(nϕ)+ β ni (t)sin(nϕ)]J n ( √ λ ni r).i,n=0Questo sarebbe comunque vero per qualunque sistema ortonormale completo,ma essendo il sistema usato formato da autofunzioni, i coefficientidello sviluppo sono determinati dagli opportuni problemi di Cauchy perle e.d.o.α ′′ni +c2 λ ni α ni = 0, β ′′ni +c2 λ ni β ni = 0.Esercizio 9.11. Nella Sezione 9.4 abbiamo applicato il metodo di Fourierall’equazione di Laplace nel cerchio. Spiegare in cosa differiscono i dueproblemi dal punto di vista dell’applicazione del metodo di Fourier. □