Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

132 DANIELE ANDREUCCIsi può scrivere come u = v+w, oveev tt −c 2 v xx = 0, − ∞ < x < ∞,0 < t < T,v(x,0) = u 0 (x), − ∞ < x < ∞,v t (x,0) = u 1 (x), − ∞ < x < ∞,w tt −c 2 w xx = f(x,t), − ∞ < x < ∞,0 < t < T, (12.3)w(x,0) = 0, − ∞ < x < ∞, (12.4)w t (x,0) = 0, − ∞ < x < ∞. (12.5)Sappiamo già come ottenere v (vedi Capitolo 10).Qui mostreremo come rappresentare w. L’idea di partenza è di applicareil principio di Duhamel, e quindi di scriverew(x,t) =∫ t0z(x,t; τ)dτ, (12.6)ossia di ottenere w come somma, o per la precisione, come integrale di‘contributi’ z(x,t; τ) presi a tutti i tempi 0 < τ < t. Nella (12.6) integriamosu (0,t), piuttosto che per esempio su (0, ∞), per ragioni ovviedal punto di vista modellistico: è ragionevole supporre che il valore dellasoluzione di un’equazione di evoluzione sia influenzato solo dai datipresi sull’intervallo temporale che intercorre tra l’istante iniziale e quelloattuale.Intanto la (12.6) risolve senz’altro la (12.4). Calcoliamo poi, assumendoche z sia regolare a sufficienza,Prendiamo∫ tw t (x,t) = z(x,t;t)+0z t (x,t; τ)dτ.z(x,t;t) = 0, −∞ < x < ∞, (12.7)per ogni T > t > 0. Allora anche (12.5) è soddisfatta. Proseguendo neicalcoli si ha∫ tw tt (x,t) = z t (x,t;t)+w xx (x,t) =∫ t00z tt (x,t; τ)dτ,z xx (x,t; τ)dτ.Dunque, affinché la (12.3) sia soddisfatta, deve essere∫ tz t (x,t;t)+ [z tt −c 2 z xx ](x,t; τ)dτ = f(x,t), −∞ < x < ∞,0 < t < T.0