Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

84 DANIELE ANDREUCCIdel genere, corrispondente all’autovalore λ, si avrebbe per la completezzaϕ =∞∑ (ϕ, ϕ nm ) ϕ nm = ∑ (ϕ, ϕ nm )ϕ nm ,m,n=1λ nm =λper il Teorema 5.8. Si noti che l’ultima somma sopra ha un numero finitodi termini, perché per (9.2) solo un numero finito delle autofunzioni in(9.1) può soddisfare λ nm = λ. Questo però contraddice l’asserita lineareindipendenza della ϕ.•9.1.3. Il caso generale. Nel caso N ≥ 2 con Ω di forma qualsiasi (e anchein quello N = 1) si può applicare la teoria di Sturm-Liouville, che dimostra:Teorema 9.1. Ciascuno dei due problemi agli autovalori (5.8)–(5.9), e (5.10)–(5.11),ammetteunasuccessioneinfinitadicoppieautofunzioneautovalore(ϕ n , λ n ).Inoltre ciascun autovalore λ n appare nella successione solo un numero finito divolte, elim λ n = +∞. (9.3)n→∞Infine,lasuccessione{ϕ n }costituisceunsistemaortonormalecompletoin L 2 (Ω).Questo Teorema lascia però aperto il problema di determinare in modoesplicito le autofunzioni e gli autovalori di cui garantisce l’esistenza.Il Teorema 9.1 asserisce l’ortogonalità anche delle autofunzioni corrispondenti ad autovaloriuguali, mentre il Teorema 5.8 considerava solo il caso di autovalori diversi.Tuttavia questo fatto si può dimostrareanche in modo diretto, per esempio usando il fattoche a ciascun autovalore corrisponde solo un numero finito di autofunzioni, come si èvisto nella Sottosezione 9.1.2.O ancora, perfino a prescindere da questa proprietà, si può ragionare come nel seguenteLemma.Lemma 9.2. Sia {ϕ n } una qualunque famiglia di autofunzioni linearmente indipendenti di unproblema al contorno per l’equazione di Laplace, corrispondenti allo stesso autovalore λ.Allora si può determinare un sistema ortonormale di autofunzioni { ˜ϕ n } in ugual numero, corrispondential medesimo autovalore λ, che generano lo stesso sottospazio delle {ϕ n }.Dimostrazione. Per la Proposizione 7.14 si trova un sistema ortonormale { ˜ϕ n } con lostessonumerodicomponentiche generalostessosottospaziodelle{ϕ n },etalecheogni ˜ϕ iè combinazione linearedi queste ultime. Quindi ogni ˜ϕ i è un’autofunzione con autovaloreλ; infatti si ha, per esempio per i = 1,(∆ ˜ϕ 1 = ∆ ∑jα j ϕ j)= ∑jα j ∆ ϕ j = − ∑jα j λϕ j = −λ ∑ α j ϕ j = −λ ˜ϕ 1 .j□•Torniamo al problema della Sezione 5.3 del Capitolo 5, ossia au t −D ∆u = F(x,t), x ∈ Ω,0 < t < T, (9.4)D ∂u (x,t) = 0,∂νx ∈ ∂Ω,0 < t < T, (9.5)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ Ω, (9.6)