Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

11.1. CONVOLUZIONI 115È facile vedere che in questo modo la (11.2) e la (11.3) sono soddisfatte.Inoltre fissato a > 0, si ha per esempio, in virtù del Lemma A.15,∫ ∫ϕ λ (x)dx = ϕ(y)dy → 0, per λ → 0,|x|≥a|y|≥ a λe quindi anche (11.4) risulta dimostrata. Si noti che questa relazione dilimite non sarebbe verificata se si fosse preso a = 0.Qualora la ϕ sia a supporto compatto, ciascuna ϕ λ risulta a supportocompatto. Per esempio, se supp ϕ = B 1 (0), allora supp ϕ λ = B λ (0). □Osservazione 11.10. In realtà la limitatezza di f su tutto R N non è davvero essenziale peri risultati sopra. È sufficiente supporre, per esempio, che la f sia limitata sul supporto ditutte le ϕ λ .□Osservazione 11.11. La (11.3) può essere sostituita da∫R N ϕ λ (x)dx → 1, λ → 0.Osservazione 11.12. La stessa dimostrazione del Teorema 11.3, quasi senza modifiche,permette di ottenere che∫R N f λ (x−y)ϕ λ (y)dy → f(x), λ → 0, (11.15)sotto le ipotesi formulate nel Teorema su f e x, e se la {f λ } è una famiglia di funzioni taliche valgano siache ancheper ogni ε > 0 esiste un a = a(x, ε) > 0 e un ¯λ = ¯λ(x, ε), taliche per ogni |y| ≤ a e per ogni 0 < λ < ¯λ si abbia|f λ (x−y)− f(x)| ≤ ε, (11.16)esiste un M 1 < ∞ indipendente da λ che soddisfi per ogniλ > 0supR N |f λ | ≤ M 1 . (11.17)Infatti basta usare nella dimostrazione la (11.16) al posto della (11.6), e la (11.17) nella(11.7). □Osservazione 11.13. Tutto quanto detto in questa Sezione vale se la parametrizzazionedei nuclei, invece che con una variabile reale λ, è fatta con la successione dei naturali n.È ovvio che tutte le convergenze per λ → 0 devono essere sostituite con convergenze pern → ∞. Volendo proprio ricadere alla lettera nel caso appena visto, se φ n è la famiglia deinuclei di approssimazione parametrizzati dai naturali, basta definireϕ λ = φ n ,1n+1 < λ ≤ 1 n . □□11.1.1. Approssimazionedella δ diDirac. Spessonelleapplicazioni sideveintrodurre in un modello matematico una quantità ‘concentrata’: unimpulso puntuale, una sorgente puntiforme, e così via.Per esempio, supponiamo che una massa unitaria di gas sia concentrataall’istante t = 0 nel punto x = 0 ∈ R 3 , e sia lasciata libera di diffondere