Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

2.3. PROBLEMI PER L’EQUAZIONE DEL CALORE 192.2.2. Problema di Neumann per l’equazione di Laplace. Il problema diNeumannin un apertolimitato e connesso Ω ⊂ R N , con frontieraregolareè:PN L : Assegnata f : ∂Ω → R, determinare u ∈ C 2 (Ω) tale che∆u = 0, in Ω, (2.6)∂u∂ν= f , su ∂Ω. (2.7)Osservazione2.3. Unacondizionenecessaria perlarisolubilitàdelproblemadi Neumann è:∫f dσ = 0. (2.8)∂ΩInfatti per il teorema della divergenza, ammesso che una soluzione uesista,∫ ∫ ∫∂uf dσ =∂ν dσ = ∆udx = 0.∂Ω∂ΩOsservazione2.4. ÈchiarocheseurisolveilproblemadiNeumann,ancheu+costante lo risolve. Non può quindi esservi unicità di soluzioni perPN L , almeno nelsensopienodeltermine. Sidimostratuttaviachetuttelesoluzionisitrovanoperaddizionediunacostante(vediTeorema6.12). □Ω□•2.3. Problemi al valore iniziale e al contorno per l’equazione del calore2.3.1. Problema di Dirichlet per l’equazione del calore. Usiamo la notazioneQ T = Ω×(0,T) = {(x,t) | x ∈ Ω, 0 < t < T},∂ p Q T = (∂Q T )\{(x,T) | x ∈ Ω},Q ∗ T = Q T \ ∂ p Q T = Ω×(0,T].Q ∗ T si dice anche interno parabolico di Q T (si noti che Q ∗ T ̸⊂ Q T), e ∂ p Q T sidice frontiera parabolica di Q T .Il problema di Dirichlet per l’equazione del calore nel cilindro Q T è:PD C : Assegnata u 0 : ∂ p Q T → R, determinare u ∈ C 2,1 (Q ∗ T) tale cheu t −D ∆u = 0, in Q T , (2.9)u(x,t) = u 0 (x,t), su ∂ p Q T . (2.10)Questo problema ha un’unica soluzione sotto ipotesi ragionevoli sui datial contorno e iniziale (vedi Teorema 6.6, e Teorema 4.12). •