Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

4.6. IL LEMMA DI HOPF PER L’EQUAZIONE DEL CALORE 414.6.1. Stime di soluzioni mediante il metodo delle soprasoluzioni. Unafunzione v (regolare come la soluzione del problema PN C ) che soddisfav t −D ∆v ≥ 0, in Q T , (4.14)v(x,0) ≥ u 0 (x), x ∈ Ω, (4.15)D ∂v (x,t) ≥ f(x,t), x ∈ ∂Ω,0 < t < T, (4.16)∂νsi dice soprasoluzione di PN C , perchéTeorema 4.19. Se u risolve PN C , e v risolve (4.14)–(4.16), si ha v ≥ u in Q T .Dimostrazione. Sia w = v−u. Allora w soddisfaw t −D ∆w ≥ 0, in Q T ,w(x,0) ≥ 0, x ∈ Ω,D ∂w (x,t) ≥ 0, x ∈ ∂Ω,0 < t < T.∂νPer il principio di massimo, w deve assumere il minimo su ∂ p Q T . D’altraparte, se lo assumesse su un punto (¯x,¯t), con ¯t > 0, si dovrebbe avere∂w∂ν (¯x,¯t) < 0, per il Lemma 4.18, contro la condizione ∂w∂ν≥ 0. Perciò ilminimo è assunto per t = 0, ove w ≥ 0. Quindi w ≥ 0 su tutto Q T . □Osservazione 4.20. Il Teorema 4.19 implica subito un risultato di unicitàper PN C .□Esempio 4.21. Si consideri la soluzione u diu t −Du xx = 0, in (0,L)×(0,T), (4.17)u(x,0) = x, 0 ≤ x ≤ L, (4.18)−Du x (0,t) = 0, 0 < t < T, (4.19)Du x (b,t) = cos 2 t, 0 < t < T. (4.20)Allora, u nonpuòavereminimi omassimi su x = 0per t > 0, perillemmadi Hopf. Su x = L, si ha u x ≥ 0. Dunque u può assumervi un massimo,ma non un minimo; si noti che abbiamo bisogno del lemma di Hopf perescludere che il minimo possa essere assunto per t = (2k+1)π/2, k ∈ N,ove u x = 0. Perciò il minimo di u è assunto per t = 0, e anzi solo per(x,t) = (0,0), per il principio del massimo forte. Dunque u > 0 in ognialtro punto del suo dominio di definizione.□4.6.2. Dipendenza continua dal dato iniziale.Teorema 4.22. Siano u 1 e u 2 due soluzioni del problema di Neumann PN C .Supponiamo che il dato al bordo f coincida per le due soluzioni, mentre i datiiniziali siano due qualunque funzioni u 01 , u 02 ∈ C(Ω). Alloramax|u 1 −u 2 | ≤ max|u 01 −u 02 |. (4.21)Q T Ω•