Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

7.3. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI CON SISTEMI ORTONORMALI 65Dimostrazione. A) Dato che ciascun ψ n è definito come combinazionelineare a coefficienti non tutti nulli delle f i , non può essere 0, e quindile ϕ n sono ben definite (e in numero uguale alle f n per costruzione).L’ortonormalità del sistema {ϕ n } si verifica subito in modo diretto.B) Sia U il sottospazio di L 2 (I) generato dai ϕ n . Dato che ciascun ϕ n ècombinazione linearedelle f i ,risultaovviocheU ⊂ V. Viceversa,ciascunaf k risulta combinazione lineare delle ϕ 1 , ..., ϕ k , per la (7.13), e quindi valeanche V ⊂ U.□Ilprocedimentocheconducedall’assegnatasuccessione{f n }alsistemaortonormale{ϕ n } si dice procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.Esempio 7.15. (Polinomi di Legendre) Applicando il procedimento diGram-Schmidt alla successione{x n } ∞ n=0in (−1,1) si ottiene la successionedei polinomi di Legendre1P n (x) = √2 n n!n+ 1 2d ndx n(x2 −1) n , n = 0,1,2,3,... . (7.14)□7.3. Approssimazione di funzioni con sistemi ortonormaliSia {ϕ n } ∞ n=1un sistema ortonormale. Fissiamo una funzione f. Per ogniassegnato k > 0 naturale, vogliamo trovare la migliore approssimazionedi f con combinazioni lineari di ϕ 1 , ..., ϕ k . In altre parole, vogliamominimizzare la funzione∥ k ∥∥∥∥2 ∫k2Ψ(c 1 ,c 2 ,...,c k ) =∥ f − ∑ c n ϕ n =∣ f(x)− ∑ c n ϕ n (x)dx,∣n=1al variare dei parametri reali c n .Un calcolo esplicito, che usa (7.11), dàΨ(c 1 ,c 2 ,...,c k ) = ‖f‖ 2 −2Dunque il minimo di Ψ si ottiene perIk∑n=1n=1c n (f, ϕ n ) +k∑n=1c 2 n. (7.15)c n = (f, ϕ n ), n = 1,...,k. (7.16)Definizione 7.16. La funzioneS k (x) =k∑ (f, ϕ n ) ϕ n (x), x ∈ I.n=1si dice somma parziale di f relativa al sistema {ϕ n }.□Lo spazio L 2 (I) è uno spazio vettoriale; lo spazio delle combinazioni linearidi ϕ 1 , ..., ϕ k , è un suo sottospazio vettoriale V k . La funzione S k èquindi l’elemento di V k più vicino a f nel senso della distanza tra funzionisopra definita. Per questo si chiama a volte la proiezione di f su V k .