Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

212 DANIELE ANDREUCCI• L’identità1+2k∑n=1C.3. Identità trigonometrichecos(nθ) =)sin(2k+12θsin θ 2, θ ̸= 2mπ, m ∈ Z (C.1)provienedallaparterealedellasommaparziale dellaseriegeometricak∑ e inθ = ei(k+1)θ −1n=0e iθ , (C.2)−1dopo l’applicazione di formule trigonometriche elementari.• L’identitàk∑ sin(2n+1)θ = sin2 (k+1)θ, θ ̸= mπ, m ∈ Z, (C.3)n=0sin θsegue dalla somma su n = 0, 1, ..., k, delle2sin(2n+1)θ sin θ = cos(2nθ)−cos2(n+1)θ,che a loro volta sono conseguenze immediate delle formule di addizione.C.4. DisuguaglianzeLemma C.8. (Cauchy-Schwarz) Se f, g ∈ L 2 (Ω),∫Ω(∫|f(x)g(x)|dx ≤La dimostrazione è data nel Lemma 7.4.Ω)1(∫|f(x)| 2 2dxΩ|g(x)| 2 dx)12. (C.4)Lemma C.9. (Poincaré) Sia Ω un aperto limitato di R N , contenuto in unasfera di raggio R. Sia u ∈ C 1 (Ω), con u = 0 su ∂Ω. Allora∫ ∫u(x) 2 dx ≤ (2R) 2 |∇u(x)| 2 dx. (C.5)ΩDimostrazione. Svolgiamo per semplicità la dimostrazione in R 2 ; il casogenerale è del tutto analogo. Supponiamo anche senza perdita digeneralità che la sfera che contiene Ω abbia centro nell’origine.Estendiamo la definizione di u a tutto R 2 , ponendo u ≡ 0 fuori di Ω.Continuiamo a denotare con u questa estensione.Fissiamo (¯x,ȳ) ∈ Ω. Integriamo u y sulla semiretta per (¯x,ȳ) parallelaall’asse y, per y < ȳ; definiamo ¯η < ȳ in modo che (¯x, ¯η) ∈ ∂Ω sia l’intersezionedi questa semiretta con ∂Ω più vicina a (¯x,ȳ). Per la regolarità diu, e visto che u(¯x, ¯η) = 0,u(¯x,ȳ) =∫ ȳ¯ηΩu y (¯x,y)dy,