Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

180 DANIELE ANDREUCCI19.2. Curve caratteristiche e caratteristiche al suoloLe curve Φ(τ) = (ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ), ϕ 3 (τ)), soluzioni su qualche intervalloaperto J ⊂ R didxdτ = a(x,y),dydτ = b(x,y),dzdτ = c(x,y,z), (19.6)si dicono caratteristiche di (19.1). Queste sono curve in R 3 .Le curve in R 2 date da Φ 0 (τ) = (ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ)), che risultano proiezionisul piano (x,y) delle curve caratteristiche, si dicono caratteristiche al suolo.Si noti che (ϕ 1 , ϕ 2 ) è soluzione die si può determinare in modo indipendente da ϕ 3 .dxdτ = a(x,y),dydτ = b(x,y), (19.7)19.2.1. Risoluzione per caratteristiche. Vale, con l’intesa che tutte le funzionisono calcolate in x = ϕ 1 (τ), y = ϕ 2 (τ), u = u(ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ)),c = au x +bu y = dϕ 1dτ u x + dϕ 2dτ u y = d dτ u(ϕ 1(τ), ϕ 2 (τ)), (19.8)ove solo per la prima uguaglianza abbiamo fatto uso di (19.1). Dunquela e.d.p. si riduce a una e.d.o. lungo le caratteristiche al suolo. In linea diprincipio, il problema di Cauchy PC si può risolvere così:1) Consideriamo per s ∈ I, la caratteristica al suolo che passa per il puntoΨ(s) in τ = 0.2) Risolviamo il problema di Cauchy per la e.d.o. in (19.8), con il datoiniziale u 0 (s), prescritto all’istante iniziale τ = 0. Questo determina ilvalore di u lungo una parte della caratteristica al suolo scelta nel passo 1),e in un certo senso risolve il problema.In effetti però, a noi interessa ottenere u come funzione di (x,y) e non di(τ,s). Allora si può proseguire così:3) [supplemento di 1)] Si fissa (x,y); chiamiamo questo punto (¯x,ȳ) perchiarezza. Si trova la coordinata ¯s, tale che (¯x,ȳ) appartenga alla caratteristicaal suolo per Ψ(¯s) tra quelle costruite al punto 1). Sia ¯τ il valore delparametro su tale caratteristica corrispondente al punto (¯x,ȳ). Si noti chesia ¯s che ¯τ sono funzioni di (¯x,ȳ), ¯s = ¯s(¯x,ȳ), ¯τ = ¯τ(¯x,ȳ).4) [supplemento di 2)] Sostituendo ¯s = ¯s(¯x,ȳ), ¯τ = ¯τ(¯x,ȳ) nella soluzionedel problema di Cauchy per la e.d.o. trovata nel punto 2), si ottiene lasoluzione u(¯x,ȳ); disolito, si cambia il nome divariabile, da(¯x,ȳ) a(x,y),per ottenere la u calcolata nel generico punto (x,y). •