Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

196 DANIELE ANDREUCCIInfine, si dice che E ⊂ R N è misurabile secondo Lebesgue se la sua funzione caratteristicaχ E è misurabile nel senso detto sopra. Per un qualunque insieme misurabile E, e funzionef : E → R si dice che f è misurabile in E se la funzione{f(x), x ∈ E,˜f(x) =0, x ∈ R N \Eè misurabile nel senso introdotto sopra. In questo caso si pone∫ ∫f(x)dx = ˜f(x)dx,E R Nse e solo se ˜f è integrabile in R N (o non negativa).(A.8)LadefinizioneinSottosezioneA.2.3puòessereapplicataanche allefunzioniilcuiintegraleerastato giàcalcolato inSottosezione A.2.1 o A.2.2; siottiene unintegrale che coincideconquello già definito. In modo analogo, l’integrale di Lebesgue di funzioni continue sucompatti regolari coincide con quello di Riemann. Le funzioni continue a tratti risultanointegrabili su intervalli limitati, e il loro integrale coincide con quello usuale.Esempio A.8. La funzione f dell’Esempio A.7 è integrabile in [0,1]: se ϕ n è come nell’EsempioA.7, si ha∫ 1 ∫f(x)dx =0 R∫2f(x)χ [0,1] dx = lim n→∞−1ϕ n (x)dx = lim(1+ 1 )= 1.n→∞ n□Osservazione A.9. Una funzione il cui integrale risulti definito in unodei casi precedenti si dice integrabile in R N , se il suo integrale è finito.Alcune funzioni non negative (non integrabili) hanno in effetti integraleinfinito.□L’integrale di Lebesgue soddisfa le usuali proprietà dell’integrale, se ristrettoalle funzioni integrabili, cioè di integrale finito. Per esempio lasomma di funzioni integrabili è integrabile, ed il suo integrale coincidecon la somma degli integrali delle singole funzioni. In particolare vale laproprietàdelconfronto,edunque,perogni f, g ed E misurabili, con f ≤ gq.o. in E,∫ ∫f ≤ g. (A.9)Ne segueE∫∣EE∫f∣ ≤ |f|.E(A.10)Si può anche dimostrare che se E 1 , E 2 sono misurabili con E 1 ∩E 2 di misuranulla, e f è integrabile su E 1 ∪E 2 , allora f è integrabile su ciascun E i ,e ∫ ∫ ∫f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx. (A.11)E 1 ∪E 2 E 1 E 2È facile vedere che l’integrale di qualunque funzione su un insieme dimisura nulla vale zero. In altri termini, se una funzione si annulla q.o. nel