Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

11.5. EQUAZIONE DI LAPLACE NELLA SFERA 129Resta solo da provare che la u è continua fino su ∂B R (x 0 ). Per far questousiamo lo stesso argomento applicato nella dimostrazione del Teorema11.3, cui rimandiamo per una spiegazione della logica dei passaggi.Confrontando le ipotesi fatte sui nuclei di approssimazione, con le proprietàdella K, si vede che: la non negatività (11.2) corrisponde al fattoovvio K ≥ 0; l’ipotesi (11.3) è sostituita dalla (11.53); la (11.4) verrà commentatasotto. Per ora notiamo che il limite λ → 0 nel Teorema11.3, vienequi sostituito dal limite x → ¯x ∈ ∂B R (x 0 ), che implica |x| → R.Fissati ¯x ∈ ∂B R (x 0 ) ed ε > 0, fissiamo un a = a(ε, ¯x) > 0 tale che|u 0 (ξ)−u 0 (¯x)| ≤ ε, ∀|ξ − ¯x| ≤ a,ξ ∈ ∂B R (x 0 ). (11.55)Nel seguito supponiamo che x sia abbastanza vicino a ¯x, ossia|x− ¯x| ≤ a 2 . (11.56)Definiamo ancheM = max |u 0|.∂B R (x 0 )Dunque si ha, dividendo l’integrale su due porzioni di superficie,∣ ∣∣∣∣∣∣∫|u(x)−u 0 (¯x)| =K(x, ξ)[u 0 (ξ)−u 0 (¯x)]dσ ξ∣∂B R (x 0 )∫≤ K(x, ξ)|u 0 (ξ)−u 0 (¯x)| dσ ξ|ξ−¯x|≥a∫+≤ 2M|ξ−¯x|≤a∫|ξ−¯x|≥aK(x, ξ)|u 0 (ξ)−u 0 (¯x)| dσ ξK(x, ξ)dσ ξ + ε≤ 2M 1 R 2 −|x| 2σ N R (a/2) N∫|ξ−¯x|≥aQui si è anche usato il fatto che su {|ξ − ¯x| ≥ a}∫|ξ−¯x|≤adσ ξ + ε.K(x, ξ)dσ ξ(11.57)|x−ξ| ≥ |¯x−ξ|−|¯x−x| ≥ a 2 ,per la (11.56). Osserviamo inoltre cheR 2 −|x| 2 = (|¯x|+|x|)(|¯x|−|x|) ≤ 2R|¯x−x|.Dunque dalla (11.57) si ottieneammesso che|u(x)−u 0 (¯x)| ≤ ε+2 N+2 MR N−1 a −N |¯x−x| ≤ 2ε,|¯x−x| ≤ δ := min ( 2 −N−2 M −1 R −N+1 a N ε,2 −1 a ) .La dimostrazione della continuità in ¯x è conclusa.L’ipotesi (11.4) qui è sostituita dalla possibilità di rendere piccolo l’integralesu {|ξ − ¯x| ≥ a} pur di prendere x vicino a sufficienza a ¯x. □