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INTEGRALE DI LEBESGUE 7• Si può facilmente verificare che l’integrale non dipende dallaparticolare scelta di f 1 e f 2 , cioè, sef 1 − f 2 = g 1 − g 2 con f 1 , f 2 , g 1 , g 2 ∈ C 1 ,allora ∫ ∫f 1 dx −∫f 2 dx =∫g 1 dx −g 2 dx.Infatti, questo segue dalla proposizione 2.5 della sezione precedenteperchèf 1 + g 2 = g 1 + f 2• Anche, si può facilmente verificare che C 1 ⊂ C 2 e che per f ∈C 1 la nuova definizione coincide con l’altra (segua scegliendof 2 = 0).• Finalmente, se f ∈ C 2 e f = g quasi ovunque, allora g ∈ C 2 gliintegrali di f e g sono uguali.La proposizione 2.1 della sezione 2.1 rimane valida per la classe C 2invece di C 0 :Proposizione 2.7.(a) La classe C 2 è uno spazio reticolato.(b) L’integrale è una forma lineare positiva su C 2 .La classe C 2 contiene la classe C 0 . Il prossimo risultato mostra chele funzioni a gradino in un certo senso sono dense in C 2 .Proposizione 2.8. Sia f ∈ C 2 . Allora esiste una successione (ϕ n ) inC 0 tale che ϕ n tende a f quasi ovunque, e∫|f − ϕ n | dx → 0.Si potrebbe tentare di generalizzare ulteriormente l’integrale ripetendoil precedente processo partendo con C 2 invece di C 0 . È una sorpresaosservare che non si ottengono nuove funzioni integrabili seguendoquesta strada.Teorema 2.9. (Beppo Levi) Sia (f n ) una successione crescente in C 2tale che i corrispondenti integrali hanno una costante di limitatezzacomune. Allora la successione (f n ) tende a una funzione f ∈ C 2 quasiovunque, e∫ ∫f n dx → f dx.Osservazione. Questa è una generalizzazione del lemma 2.3.

8 VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETIFormuliamo alcune semplici ma importanti conseguenze di questoteorema.Corollario 2.10.(a) Sia (g n ) una successione in C 2 tale che la serie numerica∞∑∫|g n | dxconverge. Allora la serien=1∞∑n=1converge quasi uniformemente a una funzione g ∈ C 2 , e∞∑∫ ∫g n dx = g dx.n=1g n(b) Se g ∈ C 2 abbiamo∫|g| dx = 0se e solo se g = 0 quasi ovunque.(c) Sia (f n ) una successione crescente in C 2 , convergente a una funzionef ∈ C 2 quasi ovunque. Allora∫ ∫f n dx → f dx.Definizione. Nel seguito gli elementi di C 2 sono anche chiamati integrabilisecondo Lebesgue (o semplicemente funzioni integrabili), e l’integraleappena definito integrale di Lebesgue . In più, seguendo lenotazioni usuali, scriviamo L 1 invece di C 2 .2.4. Teoremi di Lebesgue, Fatou e Riesz–Fischer. In questa sottosezioneformuliamo tre teoremi fondamentali. Questi giocano unruolo fondamentale in tutte le applicazioni.Uno dei più grandi vantaggi della teoria di Lebesgue rispetto alla teoriadi Riemann è la sua semplicità nel trattare successioni di integrali.La successione f n (x) = n|x|e −n|x| mostra che il teorema di Beppo Levinon si applica per tutte le successioni convergenti quasi ovunque. Siha comunque alcuni altri risultati, senza assumere la monotonia dellasuccessione (f n ).

INTEGRALE DI LEBESGUE 11• (σ-additività) Se (A k ) è una successione di insiemi a coppie disgiuntiin P e A := A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∈ P, alloram(A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ) = m(A 1 ) + m(A 2 ) + . . .Esempio. La lunghezza degli intervalli limitati è una misura.Definizione. Una famiglia M di sottoinsiemi di R è una σ-algebra seha la seguente proprietà:• ∅ ∈ M;• Se A ∈ M, allora R\A ∈ M;• Se (A k ) è una successione di insiemi di P, alloraA 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∈ M e A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∈ M.Esempio. La famiglia di tutti i sottoinsiemi di R è una σ-algebra.Proposizione 2.15.(a) La famiglia degli insiemi misurabili è una σ-algebra.(b) La formula (2.1) definisce una misura.(c) Una funzione f è misurabile se e solo se tutti gli insiemi di livello{x ∈ R : f(x) ≤ c}, c ∈ Rsono misurabili. La stessa equivalenza sussiste se sostituiamo la disuguaglianza≤ con ≥, < o > nella definizione degli insiemi di livello.3. Integrale astratto di LebesgueLa costruzione dell’integrale di Lebesgue, come data precedentemente,può essere generalizzato al seguente modo.Definizione. Sia dato un insieme Ω e una famiglia P di sottoinsiemidi Ω. Assumiamo che• ∅ ∈ P;• se A, B ∈ P, allora A ∩ B ∈ P;• se A, B ∈ P, allora esiste una successione finita di insiemi a duea due disgiunti C 1 , . . . C n in P tali cheAllora P si dice semianello.A\B = C 1 ∪ · · · ∪ C n .Esempi.• Gli intervalli limitati formano un semianello.• Ogni σ-algebra è anche un semianello.Definizione. Si dice che (Ω, P, m) è uno prespazio di misura se• P è un semianello in Ω;

12 VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETI• m : P → R è una misura;• m(A) < ∞ per ogni A ∈ P;• Ω è coperto da una successione di insiemi A n in P.Esempio. Sia P la famiglia degli intervalli limitati e denotiamo conm(A) la lunghezza dell’intervallo A. Allora (R, P, m) è uno prespaziodi misura.Definizioni. Sia (Ω, P, m) è uno prespazio di misura.• Una funzione a gradino è una combinazione lineare finita difunzioni caratteristiche degli insiemi in P.• Un insieme A ⊂ Ω è trascurabile se per ogni ε > 0 esiste unasuccessione (A n ) in T tale che∞⋃∞∑A ⊂ e m(A n ) < ε.n=1A nSi può ripetere la costruzione del capitolo 2: tutti i risultati rimangonovalidi. In particolare, otteniamo una σ-algebra M di insiemi misurabiliin Ω, e m si estende ad una misura µ definita su M. Otteniamoallora uno spazio di misura nel senso seguente:Definizione. Si dice che (Ω, M, µ) è uno spazio di misura se M è unaσ-algebra in Ω e m è una (non necessariamente finita) misura definitasu M.n=1Consideriamo alcuni casi particolari.3.1. Integrale su un sottoinsieme. Dato un intervallo (a, b) e unafunzione f : (a, b) → R, è naturale definire il suo integrale tramite laformula∫ b ∫f dx := g dxadove g : R → R è l’estensione di f tramite la funzione nulla:{f(x) se a ∈ (a, b),g(x) :=0 altrimenti.Ciò può essere generalizzato come segue. Sia (Ω, P, m) un prespaziodi misura e (Ω, M, µ) il corrispondente spazio di misura. Dato uninsieme misurabile M ∈ M, la restrizione di µ aP M := {M ∩ A : A ∈ P}definisce un semispazio di misura (M, P M , µ| PM ).

INTEGRALE DI LEBESGUE 133.2. Misure prodotto. Sia (Ω 1 , P 1 , m 1 ) e (Ω 2 , P 2 , m 2 ) due prespazidi misura. Poniamo• Ω = Ω 1 × Ω 2 ,• P = {A 1 × A 2 : A 1 ∈ P 1 e A 2 ∈ P 2 },• m(A) = m 1 (A 1 ) · m 2 (A 2 ).Allora (Ω, P, m) è uno prespazio di misura, cossicchè possiamo costruirel’integrale di Lebesgue astratto in Ω. Il seguente teorema generale cipermette di calcolare integrali doppi tramite integrazioni successive:Teorema 3.1. (Fubini) Sia f : Ω → R integrabile. Allora la funzionedefinita daf x1 : Ω 2 → R, f x1 (x 2 ) := f(x 1 , x 2 )è integrabile per quasi ogni x 1 ∈ Ω 1 . In più, la funzione∫x 1 ↦→ f x1 dx 2Ω 2è integrabile, e( ∫Ω ∫ ) ∫f x1 dx 2 dx 1 =1 Ω 2Ωf dx.Per verificare l’integrabilità di f si può spesso utilizzare ilTeorema 3.2. (Tonelli) Sia f : Ω → R una funzione misurabile. Assumiamoche il seguente integrale∫Ω 1( ∫ Ω 2|f| dx 2)dx 1sia ben definito e finito. Allora f è integrabile.3.3. Integrale di Lebesgue–Stieltjes. Sia g : [a, b] → R una datafunzione di variazione limitata su un intervallo chiuso [a, b]. Sia Ω =(a, b], denotiamo con P la famiglia di tutti gli intervalli chiusi a destra(c, d] con a ≤ c ≤ d ≤ b, e definiamom(A) = g(d) − g(c)per ogni A = (c, d] ∈ P. Allora (Ω, P, m) è un prespazio di misura.Denotiamo con µ g la misura corrispondente.La fondamentale importanza dell’integrale di Stieltjes è dato dallaforma originale del teorema di rappresentazione di Riesz sulla caratterizzazionedello spazio duale dello spazio di Banach C(K) dove K èuno spazio compatto di Hausdorff :

14 VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETITeorema 3.3. (Riesz) Sia I = [a, b] un intervallo chiuso limitato.L’integrale di Lebesgue–Stieltjes∫ baf dµ gdefinisce una forma lineare e limitata f su C(I) per ogni data funzioneg ∈ BV (I), e viceversa, ogni forma lineare e limitata può essere scrittain questo modo.Osservazione. Notiamo che questo teorema può essere formulato e dimostratosenza utilizzare l’integrale di Lebesgue. Si consiglia di guardarea tal riguardo l’ultima sezione.4. Formula di Newton–LeibnizIn questa sezione consideriamo un intervallo chiuso [a, b], non necessariamentelimitato. L’importante nozione seguente ci consente diestendere la formula di Newton–Leibniz per tutte le funzioni integrabilisecondo Lebesgue.Definizione. Una funzione F : [a, b] → R è assolutamente continuase per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che, per ogni successione finita onumerabile di intervalli a coppie disgiunti (a k , b k ) di totale lunghezza< δ in [a, b], noi abbiamo∑|F (bk ) − F (a k )| < ε.Osservazioni.• Ogni funzione Lipschitziana è assolutamente continua, e ognifunzione assolutamente continua è uniformemente continua.• Ogni funzione assolutamente continua è anche a variazione limitatasu ogni sottointervallo limitato di [a, b], dunque è derivabilequasi ovunque.Definizione. Una primitiva di una funzione f : [a, b] → R è unafunzione F : [a, b] → R• assolutamente continua,• a variazione limitata,• soddisfacente F ′ = f quasi ovunque.Teorema 4.1. (Lebesgue)(a) Una funzione f : [a, b] → R ha una primitiva se e solo se f èintegrabile.

INTEGRALE DI LEBESGUE 15(b) Se F è una primitiva di f, allora la formula di Newton–Leibnizrimane valida:∫ baf dx = F (b) − F (a).Osservazioni.• Ricordiamo dal teorema 1.3 che ogni funzione F : [a, b] → Ra variazione limitata è derivabile quasi ovunque. Infatti, F ′è sempre integrabile. È allora naturale chiedere se la formuladi Newton–Leibniz sussiste per tutte le funzioni a variazionelimitata.• La funzione di salto f = sgn mostra che la formula di Newton–Leibniz∫ baf ′ (x) dx = f(b) − f(a)non sussiste per tutte le funzioni a variazione limitata, nonostanteil fatto che entrambi le parti nella formula sono ben definite.Comunque questo esempio non è molto interessante perchèf non è continua.•È più interessante notare che la formula di Newton–Leibniz nonsussiste per tutte le funzioni continue, a variazione limitata.Per esempio, Lebesgue ha costruito una funzione F : [0, 1] → Rcrescente, continua, a variazione limitata tale che, F (0) = 0,F (1) = 1, ma F ′ = 0 quasi ovunque. Queste funzioni sono dettesingolari. Lebesgue ha anche dimostrato che ogni funzione crescentee continua F : [a, b] → R ammette una decomposizioneF = A+S dove A è assolutamente continua, S è singolare e entrambisono crescenti. Questa decomposizione è unica a menodi una costante additiva.• In più, esistono funzioni continue e strettamente crescenti F :[a, b] → R le cui derivate sono nulle quasi ovunque. Un taleesempio è dato da [6], V.2.2. Ricordiamo la costruzione. SiaI = [0, 1]. Noi vogliamo definire una successione di funzionicrescenti F n : I → R come segue. Prima noi poniamo F 0 (x) =x. Fissiamo un numero 0 < t < 1. Se F n è già definita, alloraponiamoF n+1 (x) = F n (x) per x = k2 −n , k = 0, 1, . . . , 2 n .In più, se α = k2 −n e β = (k + 1)2 −n , allora per x = (α + β)/2poniamoF n+1 (x) = 1 − t2 F n(α) + 1 + t2 F n(β).

16 VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETIInfine, definiamo F n+1 linearmente tra i due punti consecutivik2 −n−1 e (k + 1)2 −n−1 .Si può verificare che F n converge ad una funzione continua estrettamente crescente F : [0, 1] → R soddisfacente F (0) = 0,F (1) = 1 e F ′ (0) = 0 quasi ovunque.I seguenti due risultati sono conseguenze semplici di queste formule.Proposizione 4.2. (Integrazione per parti) Siano F, G : [a, b] → R duefunzioni assolutamente continue e poniamo f = F ′ , g = G ′ . Allora∫ baF g dx +∫ bafG dx = [F G] b a.Proposizione 4.3. (Cambio di variabile, de la Vallée Poussin) Siaf : [a, b] → R una funzione integrabile, e sia x : [c, d] → R una funzioneassolutamente continua, crescente, tale chex(c) = a e x(d) = b.Allora la funzione (f ◦ x)x ′ è integrabile sull’intervallo [c, d] e∫ dcf(x(t))x ′ (t) dt =∫ baf(x) dx.Diamo un’importante generalizzazione dell’ultima proposizione:Teorema 4.4. (Radon–Nikodým) Sia (Ω, M, µ) a spazio di misuracon µ(A) < ∞, e sia ν una misura su M soddisfacente la proprietàseguente:se A ∈ M e µ(A) = 0, allora ν(A) = 0 (si dice che ν è assolutamentecontinua rispetto a µ).Allora esiste una funzione integrabile nonnegativa g tale che se f èintegrabile rispetto a ν, allora fg è integrabile rispetto a µ, e∫ ∫f dν = fg dµ.Osservazione. La funzione g è detta la derivata di Radon–Nikodým diν rispetto a µ, ed è spesso denotata da dν/dµ.5. Integrale di StieltjesRicordiamo un’utile nozione di integrale introdotta da Stieltjes primadi Lebesgue.Date due funzioni f, g : I → R, consideriamo tutte le sommen∑f(y k )(g(x k ) − g(x k−1 ))k=1

INTEGRALE DI LEBESGUE 17dovea = x 0 < y 1 < x 1 < y 2 < x 2 < · · · < y n < x n = b.se queste somme tendono ad un limite finito permax (x k − x k−1 ) → 0,allora questo limite è chiamato l’ integrale di Stieltjes di f rispetto ag, ed è denotato da∫ baf dg =∫ baf(x) dg(x).Se g ∈ BV (I), allora questo integrale esiste per ogni funzione continuaf : I → R. Per g(x) = x l’integrale di Stieltjes si riduceall’integrale di Riemann. C’è una interessante variante della formuladi integrazione per parti dell’integrale di Stieltjes :Proposizione 5.1. Sia f, g : I → R. Se esiste l’integraleallora esiste l’integralee∫ baf dg +∫ ba∫ ba∫ baf dg,g df,g df = f(b)g(b) − f(a)g(a).Riferimenti[1] H. Lebesgue, Sur une généralisation de l’intégrale définie, C. R. Acad. Sci.Paris 132 (1901), 1025-1027; [3] I, 197-199.[2] H. Lebesgue, Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives,Paris, 1904; [3] II, 11-154.[3] H. Lebesgue, Oeuvres scientifiques I-V, Université de Genève, 1972-73.[4] F. Riesz and B. Sz.-Nagy, Leçons d’analyse fonctionnelle, Akadémiai Kiadó,Budapest, 1952.[5] F. Riesz and B. Sz.-Nagy, Functional Analysis, Dover, New York, 1990.[6] B. Sz.-Nagy, Introduction to Real Functions and Orthogonal Expansions, OxfordUniversity Press, New York, 1965.