Successioni e serie geometrica

1. SuccessioniUna successione di numeri reali è un’applicazione dall’insieme N dei numerinaturali in R:f : n ∈ N −→ f(n) ∈ RL’elemento x n della successione è quindi l’immagine del numero n secondola funzione f: x n = f(n)1.1. Successioni convergenti.Definizione. Si dice che la successione (x n ) N converge al numero reale l,se per ogni ε > 0 esiste ν ∈ N tale che n > ν =⇒ |x n − l| < ε. In simbolilim x n = l,n→∞che si legge limite di x n rispetto a n uguale ad l.Poichè |x n − l| < ε equivale acioèsi può anche scrivere−ε < x n − l < ε,l − ε < x n < l + ε,n > ν =⇒ l − ε < x n < l + ε.Esempio di successione convergente : x n = ( 12) n = 0limn→∞(121.2. Successioni divergenti positivamente e negativamente.Definizione. Una successione (x n ) N si dice divergente positivamente, seper ogni numero reale M > 0 esiste ν ∈ N tale chen > ν =⇒ x n > M.In questo caso si scrivelim x n = +∞.n→∞Definizione. Una successione (x n ) N si dice divergente negativamente, seper ogni numero reale M > 0 esiste ν ∈ N tale che) nn > ν =⇒ x n < −M.In questo caso si scrivelim x n = −∞.n→∞Esempio di successione divergente positivamente : x n = 2 nlimn→∞ 2n = +∞Esempio di successione divergente negativamente : x n = −2 nlimn→∞ −2n = −∞1.3. Successione non regolare. Definizione. Una successione (x n ) N sidice non regolare se non ammette limite.Esempio di successione non regolare: x n = (−1) n non esiste il lim n→∞ (−1) n1

2•Allora2. Analisi del caso mistolim x n =n→∞⎧⎪⎨⎪⎩x n = q n+∞ q > 11 q = 10 q ∈] − 1, 1[̸ ∃ q ≤ −1Consideriamo•1 + q + q 2 + · · · + q n−1 + · · ·serie geometrica di ragione q.Ridotta −nsimas n = 1 + q + q 2 + · · · + q n−1Se q = 1 si has n = 1 + 1 + · · · + 1 = n.Sia q ≠ 1. Abbiamo dimostrato ches n = 1 + q + q 2 + · · · + q n−1 = 1 − qn1 − qSe |q| < 1 allora lim n→∞ q n = 0 e pertantolim s 1 − q nn = limn→∞ n→∞ 1 − q = 11 − q .Se q > 1, poichè lim n→∞ q n = +∞ si halim s n = limn→∞ n→∞Sia ora q = −1,q n − 1q − 1 = 1q − 1 · limn→∞ qn − 1 = 1 · +∞ = +∞q − 1s n = 1 − (−1)n2={0 , n = 2p1 , n = 2p + 1Pertanto la successione (s n ) N non è regolare.Sia infine q < −1. Possiamo scrivere q = −|q|, e quindis n = 1 − (−|q|)n1 + |q|= 1 − (−1)n |q| n1 + |q|⎧⎪⎨=⎪⎩1 − |q| 2p1 + |q| , n = 2p1 + |q| 2p−1, n = 2p − 11 + |q|Ne segue che S 2p → −∞ e S 2p−1 → +∞ e pertanto ̸ ∃ lim n→∞ s nAllora⎧+∞ q ≥ 1⎪⎨lim s 1n =q ∈] − 1, 1[n→∞ ⎪⎩ 1 − q̸ ∃ q ≤ −1