Successioni e serie geometrica

2•Allora2. Analisi del caso mistolim x n =n→∞⎧⎪⎨⎪⎩x n = q n+∞ q > 11 q = 10 q ∈] − 1, 1[̸ ∃ q ≤ −1Consideriamo•1 + q + q 2 + · · · + q n−1 + · · ·serie geometrica di ragione q.Ridotta −nsimas n = 1 + q + q 2 + · · · + q n−1Se q = 1 si has n = 1 + 1 + · · · + 1 = n.Sia q ≠ 1. Abbiamo dimostrato ches n = 1 + q + q 2 + · · · + q n−1 = 1 − qn1 − qSe |q| < 1 allora lim n→∞ q n = 0 e pertantolim s 1 − q nn = limn→∞ n→∞ 1 − q = 11 − q .Se q > 1, poichè lim n→∞ q n = +∞ si halim s n = limn→∞ n→∞Sia ora q = −1,q n − 1q − 1 = 1q − 1 · limn→∞ qn − 1 = 1 · +∞ = +∞q − 1s n = 1 − (−1)n2={0 , n = 2p1 , n = 2p + 1Pertanto la successione (s n ) N non è regolare.Sia infine q < −1. Possiamo scrivere q = −|q|, e quindis n = 1 − (−|q|)n1 + |q|= 1 − (−1)n |q| n1 + |q|⎧⎪⎨=⎪⎩1 − |q| 2p1 + |q| , n = 2p1 + |q| 2p−1, n = 2p − 11 + |q|Ne segue che S 2p → −∞ e S 2p−1 → +∞ e pertanto ̸ ∃ lim n→∞ s nAllora⎧+∞ q ≥ 1⎪⎨lim s 1n =q ∈] − 1, 1[n→∞ ⎪⎩ 1 − q̸ ∃ q ≤ −1