EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI

EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALICORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALEArgomenti svolti(A.A.2009-10)N.B.Ove è scritto “cenni” si intende che l’argomento non fa parte del programma di esame.(02/03/2010)Introduzione al corso; argomenti e bibliografia. Le principali definizioni iniziali: Sistema deterministico,stazionario, dinamico. Operatore di evoluzione e spazio delle fasi.(03/03/2010)Buona posizione dei problemi. Carte e sistemi di coordinate. Cenni sulle varietà differenziabili.Flussi di fase. Velocità di fase ed equazione differenziale ordinaria (e.d.o.) associata a un flusso.(04/03/2010)Campi lineari e genuinamente lineari. Campi autonomi e non autonomi. Esempi di funzioni cherisolvono e.d.o. non equivalenti.(09/03/2010)Cenni di analisi funzionale: successioni di Cauchy, spazi completi, convergenze. Enunciati deiprincipali teoremi per le e.d.o.: esistenza, unicità, prolungamento, dipendenza continua.(10/03/2010)Teorema della separazione delle variabili. Forme differenziali lineari e loro uso nella risoluzionedelle e.d.o. scalari del primo ordine. Fattori integranti e loro forme particolari.(11/03/2010)E.d.o. del secondo ordine. Struttura geometrica dello spazio delle soluzioni. Matrici fondamentalidella equazione omogenea associata. Espressione risolvente delle e.d.o. lineari scalari del primoordine. Riduzione di ordine per quelle di ordine superiore.(16/03/2010)Richiami delle proprietà delle serie di potenze. Ricerca di soluzioni analitiche per le e.d.o. lineariscalari. La funzione esponenziale e le funzioni trigonometriche come soluzioni particolari di e.d.o.(17/03/2010)Punti regolari e singolari regolari per e.d.o. lineari. Le equazioni di Schrödinger stazionaria conpotenziale elastico e l’equazione di Hermite. La prima quantizzazione.(18/03/2010)Ricerca di soluzioni nell’intorno di punti singolari regolari mediante serie di Frobenius. Esempivari.(23/03/2010)L’equazione di Bessel e sue soluzioni. Le funzioni J 0 ,Y 0 , Γ, J ρ .(24/03/2010)Cenni di sistemi lineari a coefficienti costanti. L’esponenziale di una matrice e sua rappresentazionenei casi semplici.(25/03/2010)Cambi di basi per vettori ed operatori lineari su RI n . Trasformazione di coordinate (generali) esue conseguenze. Campi vettoriali coniugati ed equivalenti. Esempi.

(13/04/2010)Integrali primi di un sistema di e.d.o. Integrali primi locali, e/o dipendenti dal tempo. Leggi diconservazione di grandezze fisiche scalari: massa, densità, calore.(14/04/2010)Equazioni differenziali a derivate parziali del primo ordine, lineari, semi-lineari, quasi-lineari. Ilmetodo delle caratteristiche.(15/04/2010)Esercizi ed esempi. Condizioni di buona posizione. Geometrie diverse (per le variabili indipendenti)e loro conseguenze sulle caratteristiche.(20/04/2010)Metodo degli “integrali primi”. Le soluzioni “generali” e la loro riduzione a soluzioni specificheper assegnati dati. Esempi.(21/04/2010)Soluzioni non standard per e.d.p. del 1 o ordine semi-lineari e quasi-lineari. Gli “shocks”. Lecondizioni di Rankine-Hugoniot. Esempi.(22/04/2010)Classificazione delle e.d.p. del 2 o ordine lineari (in due variabili indipendenti) e loro rappresentazionecanonica mediante le coordinate adattate. Definizione e determinazione delle caratteristiche.(27/04/2010)L’equazione delle onde. Proprietà delle sue soluzioni. La formula di D’Alembert nel caso omogeneo.(28/04/2010)La formula di D’Alembert nel caso non omogeneo (su RI ). Esempi (anche numerici) di ondeprogressive e retrograde.(29/04/2010)Il caso del dominio limitato. Il metodo delle riflessioni. Prolungamenti pari, dispari, periodici, difunzioni.(04/05/2010)La formula di D’Alembert nel caso completo: con forzante, condizioni iniziali non omogenee,condizioni al contorno non omogenee. Il principio di sovrapposizione delle soluzioni (per i problemilineari). Esempi.(05/05/2010)Problemi di Sturm - Liouville scalari. Proprietà delle autosoluzioni nel caso regolare. Sistemicompleti di vettori. Il teorema di Fourier generalizzato.(06/05/2010)Esempi di problemi di Sturm - Liouville regolari. Vari tipi di condizioni al bordo, omogenee.(11/05/2010)Esempi di problemi di Sturm - Liouville regolari con equazione e/o condizioni al bordo nonomogenee.(12/05/2010)Il metodo della separazione di variabili (1+1 dimensioni) con equazione e condizioni al bordoomogenee. Il problema del calore in una sbarra.

(13/05/2010)Il metodo della separazione di variabili (1+1 dimensioni) con equazione e condizioni al bordo nonomogenee. Esempi.(19/05/2010)Esempi di moti della corda vibrante per varie condizioni iniziali; paragone con la formula diD’Alembert; esempio di problema risolubile con la formula di D’Alembert e non separabile.(20/05/2010)Il metodo della separazione di variabili per l’equazione del calore per un anello e stazionario peruna lamina rettangolare.(25/05/2010)Il metodo della separazione di variabili per l’equazione di Laplace in coordinate cartesiane e polari(2 dimensioni).(26/05/2010)Altri esempi del metodo della separazione di variabili per la corda vibrante forzata e con bordi.(27/05/2010)Il metodo della separazione di variabili per la membrana vibrante rotonda e rettangolare (1+2dimensioni).(27/05/2010)Fine del corso: 32 lezioni delle quali circa un terzo di esercizi.