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16 VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETIInfine, definiamo F n+1 linearmente tra i due punti consecutivik2 −n−1 e (k + 1)2 −n−1 .Si può verificare che F n converge ad una funzione continua estrettamente crescente F : [0, 1] → R soddisfacente F (0) = 0,F (1) = 1 e F ′ (0) = 0 quasi ovunque.I seguenti due risultati sono conseguenze semplici di queste formule.Proposizione 4.2. (Integrazione per parti) Siano F, G : [a, b] → R duefunzioni assolutamente continue e poniamo f = F ′ , g = G ′ . Allora∫ baF g dx +∫ bafG dx = [F G] b a.Proposizione 4.3. (Cambio di variabile, de la Vallée Poussin) Siaf : [a, b] → R una funzione integrabile, e sia x : [c, d] → R una funzioneassolutamente continua, crescente, tale chex(c) = a e x(d) = b.Allora la funzione (f ◦ x)x ′ è integrabile sull’intervallo [c, d] e∫ dcf(x(t))x ′ (t) dt =∫ baf(x) dx.Diamo un’importante generalizzazione dell’ultima proposizione:Teorema 4.4. (Radon–Nikodým) Sia (Ω, M, µ) a spazio di misuracon µ(A) < ∞, e sia ν una misura su M soddisfacente la proprietàseguente:se A ∈ M e µ(A) = 0, allora ν(A) = 0 (si dice che ν è assolutamentecontinua rispetto a µ).Allora esiste una funzione integrabile nonnegativa g tale che se f èintegrabile rispetto a ν, allora fg è integrabile rispetto a µ, e∫ ∫f dν = fg dµ.Osservazione. La funzione g è detta la derivata di Radon–Nikodým diν rispetto a µ, ed è spesso denotata da dν/dµ.5. Integrale di StieltjesRicordiamo un’utile nozione di integrale introdotta da Stieltjes primadi Lebesgue.Date due funzioni f, g : I → R, consideriamo tutte le sommen∑f(y k )(g(x k ) − g(x k−1 ))k=1
INTEGRALE DI LEBESGUE 17dovea = x 0 < y 1 < x 1 < y 2 < x 2 < · · · < y n < x n = b.se queste somme tendono ad un limite finito permax (x k − x k−1 ) → 0,allora questo limite è chiamato l’ integrale di Stieltjes di f rispetto ag, ed è denotato da∫ baf dg =∫ baf(x) dg(x).Se g ∈ BV (I), allora questo integrale esiste per ogni funzione continuaf : I → R. Per g(x) = x l’integrale di Stieltjes si riduceall’integrale di Riemann. C’è una interessante variante della formuladi integrazione per parti dell’integrale di Stieltjes :Proposizione 5.1. Sia f, g : I → R. Se esiste l’integraleallora esiste l’integralee∫ baf dg +∫ ba∫ ba∫ baf dg,g df,g df = f(b)g(b) − f(a)g(a).Riferimenti[1] H. Lebesgue, Sur une généralisation de l’intégrale définie, C. R. Acad. Sci.Paris 132 (1901), 1025-1027; [3] I, 197-199.[2] H. Lebesgue, Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives,Paris, 1904; [3] II, 11-154.[3] H. Lebesgue, Oeuvres scientifiques I-V, Université de Genève, 1972-73.[4] F. Riesz and B. Sz.-Nagy, Leçons d’analyse fonctionnelle, Akadémiai Kiadó,Budapest, 1952.[5] F. Riesz and B. Sz.-Nagy, Functional Analysis, Dover, New York, 1990.[6] B. Sz.-Nagy, Introduction to Real Functions and Orthogonal Expansions, OxfordUniversity Press, New York, 1965.
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