file pdf - Sezione di Matematica

INTEGRALE DI LEBESGUE 7• Si può facilmente verificare che l’integrale non dipende dallaparticolare scelta di f 1 e f 2 , cioè, sef 1 − f 2 = g 1 − g 2 con f 1 , f 2 , g 1 , g 2 ∈ C 1 ,allora ∫ ∫f 1 dx −∫f 2 dx =∫g 1 dx −g 2 dx.Infatti, questo segue dalla proposizione 2.5 della sezione precedenteperchèf 1 + g 2 = g 1 + f 2• Anche, si può facilmente verificare che C 1 ⊂ C 2 e che per f ∈C 1 la nuova definizione coincide con l’altra (segua scegliendof 2 = 0).• Finalmente, se f ∈ C 2 e f = g quasi ovunque, allora g ∈ C 2 gliintegrali di f e g sono uguali.La proposizione 2.1 della sezione 2.1 rimane valida per la classe C 2invece di C 0 :Proposizione 2.7.(a) La classe C 2 è uno spazio reticolato.(b) L’integrale è una forma lineare positiva su C 2 .La classe C 2 contiene la classe C 0 . Il prossimo risultato mostra chele funzioni a gradino in un certo senso sono dense in C 2 .Proposizione 2.8. Sia f ∈ C 2 . Allora esiste una successione (ϕ n ) inC 0 tale che ϕ n tende a f quasi ovunque, e∫|f − ϕ n | dx → 0.Si potrebbe tentare di generalizzare ulteriormente l’integrale ripetendoil precedente processo partendo con C 2 invece di C 0 . È una sorpresaosservare che non si ottengono nuove funzioni integrabili seguendoquesta strada.Teorema 2.9. (Beppo Levi) Sia (f n ) una successione crescente in C 2tale che i corrispondenti integrali hanno una costante di limitatezzacomune. Allora la successione (f n ) tende a una funzione f ∈ C 2 quasiovunque, e∫ ∫f n dx → f dx.Osservazione. Questa è una generalizzazione del lemma 2.3.