Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

104 DANIELE ANDREUCCI10.3. Discesa al pianoIl problema di Cauchy in Q ∞ = R 2 ×(0, ∞),u tt −c 2 ∆u = 0, in Q ∞ , (10.22)si può trasformare nell’analogo problemau(x,0) = u 0 (x), x ∈ R 2 , (10.23)u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ R 2 , (10.24)ũ tt −c 2 ∆ x ũ−c 2 ũ zz = 0, (x,z) ∈ R 3 ,t > 0, (10.25)ũ(x,z,0) = u 0 (x), x ∈ R 2 ,z ∈ R, (10.26)ũ t (x,z,0) = u 1 (x), x ∈ R 2 ,z ∈ R. (10.27)Infatti la soluzione ũ di (10.25)–(10.27) non dipende da z, e dunque dàuna funzione di (x,t) ∈ Q ∞ che risolve il problema originale (10.22)–(10.24). Il vantaggio di questoapproccio è che la soluzione ũ si può scriverecon la formula di Kirchhoff, in cui poi si introducono le semplificazioniopportune.Questo metodo in cui si passa da una soluzione in N = 3 a una soluzionein N = 2 prende il nome di metodo della discesa.Teorema 10.15. (Formula di Poisson) La soluzione del problema di Cauchy(10.22)–(10.24) ha la rappresentazioneu(x,t) = 1 ∫u 0 (y)+∇u 0·(y−x)+tu 1 (y)√ dy. (10.28)2πct c 2 t 2 −|x−y| 2B ct (x)Dimostrazione. Iniziamo con lo scrivere la formula (10.16) per ũ(x,0,t).Usiamo le parametrizzazioni della superficie sferica |(y,z)−(x,0)| = ct√z = ± c 2 t 2 −|x−y| 2 , y ∈ B ct (x) ⊂ R 2 ,cosicché l’elemento d’area è√1+|∇z| 2 =ct√c 2 t 2 −|x−y| 2 .Usando anche il fatto che l’integrando non dipende dalla terza variabile z,a causa delle (10.26), (10.27), si arriva, sommando i contributi uguali delledue semisfere z > 0 e z < 0, au(x,t) = 2 ∫ [ 14π c 2 t 2u 0(y)+ 1 ct ∇u 0· y−x + 1 ]ct c 2 t u 1(y)B ct (x)×ct√ dy, (10.29)c 2 t 2 −|x−y| 2ove ∇ indica il gradiente in R 2 . Infatti sulla superficie sferica si ha∂ũ 0∂ν (y,z) = ∂u (0∂ν (y) = ∇u 0 (y), ∂u )0∂z (y) · ν= (∇u 0 (y),0)· (y−x,z)ct= ∇u 0 (y)· y−xct.