Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

174 DANIELE ANDREUCCI18.4.4. Ancora sul passaggio al limite. Derivate nel senso di Sobolev.Ritorniamo sulla convergenza in (18.23), e sull’identificazione w = u x ,v = u t . Si sa dunque che∫∫ ∫∫u nx ϕdxdt → wϕdxdt, (18.26)Q T Q Tper ogni ϕ ∈ L 2 (Q T ), per esempio se ϕ ∈ C◦(Q 1 T ). In quest’ultimo caso siha, integrando per parti,∫∫ ∫∫u nx ϕdxdt = − u n ϕ x dxdt. (18.27)Q T Q TConfrontando (18.26) con (18.27) si ottiene∫∫ ∫∫lim u n ϕ x dxdt = − wϕdxdt.n→∞Q T Q TD’altronde, poiché u n → u in L 2 (Q T ), e quindi anche nel senso debole, siha∫∫ ∫∫lim u n ϕ x dxdt = uϕ x dxdt.n→∞Q T Q TAbbiamo dimostrato∫∫ ∫∫wϕdxdt = −Q TQ Tuϕ x dxdt, (18.28)per ogni ϕ ∈ C◦(Q 1 T ). Se u ∈ C 1 (Q T ), questa uguaglianza è soddisfattase w = u x . Anzi, si può vedere, per l’arbitrarietà di ϕ, che in effetti seu ∈ C 1 (Q T ), e vale la (18.28), allora deve essere w = u x .Anche se u ̸∈ C 1 (Q T ), noi definiamo derivata di u nel senso di Sobolev law, e continuiamo (con abuso di notazione) a denominarla con u x . Si vedesubito che se esistono due derivate w 1 e w 2 di u nel senso di Sobolev, essedevono coincidere quasi ovunque in Q T , perché per ogni ϕ ∈ C◦(Q 1 T )∫∫ ∫∫ ∫∫w 1 ϕdxdt = − uϕ x dxdt = w 2 ϕdxdt.Q T Q T Q TRicapitolandoDefinizione 18.8. Sia u ∈ L 2 (Q T ). Si dice che w ∈ L 2 (Q T ) è la derivatadi u (rispetto a x) nel senso di Sobolev, se per ogni ϕ ∈ C 1 ◦(Q T ) vale la(18.28). □Nello stesso modo si definisce la derivata nel senso di Sobolev rispetto at, che denotiamo ancora con u t .Il motivo per cui si introducono le derivate nel senso di Sobolev è, infondo, nel passaggio al limite che conduce da (18.24) a (18.25). Un’altraproprietà utile di queste derivate è illustrata dal ragionamento seguente.Sia u la funzione limite introdotta nella Sottosezione 18.4.3. Si potrebbe