Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

1.4. L’EQUAZIONE DELLA CORDA VIBRANTE 9Perciò valgono le (1.22) e (1.23). Se in quest’ultima vale l’uguaglianza(ossia se v ∈ K è un’altro punto di minimo per J), segue da (1.26) che∇(u−v) ≡ 0 in Ω. Poiché u = v su ∂Ω, allora u ≡ v in Ω.2) Supponiamo invece che esista il minimo di J in K; denotiamolo conu ∈ K. Allora per ogni ϕ ∈ C 2 (Ω), ϕ = 0 su ∂Ω, vale cheu+tϕ ∈ K, per ogni t ∈ R,cosicché la funzione∫Φ(t) = J(u+tϕ) = |∇(u+tϕ)| 2 dx, t ∈ R,Ωha minimo, pari a J(u), in t = 0. Un calcolo esplicito mostra che∫ ∫ ∫Φ(t) = t 2 |∇ ϕ| 2 dx+2t ∇u·∇ϕdx+ |∇u| 2 dx,ΩΩΩe quindi Φ ∈ C 1 (R) e deve essere∫Φ ′ (0) = 2 ∇u·∇ ϕdx = 0. (1.27)Ripetiamo che la (1.27) deve valere per ogni ϕ ∈ C 2 (Ω) con ϕ = 0 su ∂Ω.Dato che per ipotesi u ∈ C 2 (Ω), si può integrare per parti nella (1.27) eottenere∫0 = 2Ω∫∇u·∇ ϕdx = −2ΩΩϕ ∆udx, (1.28)per ogni ϕ come sopra. Questocome è noto implica che ∆u ≡ 0 in Ω, cioèche u risolve (1.20)–(1.21).□Osservazione 1.2. Sopra abbiamo assunto, in riferimento al significatomodellistico dello schema matematico, che Ω ⊂ R 2 ; tuttavia è chiaro cheil Teorema 1.1 vale senza modifiche in qualsiasi dimensione N ≥ 2. □1.4. L’equazione della corda vibranteConsideriamo una corda che a riposo occupa il segmento0 ≤ x 1 ≤ L, x 2 = 0, x 3 = 0.Supponiamo che gli spostamenti u = u(x 1 ,t) dalla posizione di riposoavvengano solo nel piano x 3 = 0, siano ortogonaliall’asse x 1 , e così piccoliche si possa approssimare il versore tangente della corda come segue:(1,u x1 ,0)√1+u 2 x 1≃ (1,u x1 ,0), (1.29)ove appunto u = u(x 1 ,t) denota lo spostamento nel punto di ascissa x 1 altempo t.La tensione S è diretta lungo la tangente alla corda (cioè la corda è perfettamenteflessibile), e soddisfa la legge di Hooke. Quindi per la nostraipotesiche non ci siano spostamentilungo x 1 , si deve avere per ogni scelta