Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

50 DANIELE ANDREUCCIla (5.18) per ϕ n e usiamo l’identità di Green (1.40), ottenendo∫ ∫α ′ n(t) = u t (x,t)ϕ n (x)dx = D ∆u(x,t)ϕ n (x)dx+F n (t)Ω∫∫= D u(x,t) ∆ ϕ n (x)dx+DΩΩ∂Ω(∂uϕ n∂ν −u ∂ϕ )ndσ+F n (t).∂ν(5.21)Si tratta ora di imporre condizioni adatte su ϕ n per portare a termine ilnostro programma. Dato che le ϕ n sono autofunzioni, si ha per opportuniλ n ∈ R∆ ϕ n = −λ n ϕ n , x ∈ Ω, (5.22)e la (5.21) si riduce a∫∫α ′ n(t) = −Dλ n u(x,t)ϕ n (x)dx+DΩ∫= −Dλ n α n (t)+D∂Ω∂Ω(∂uϕ n∂ν −u ∂ϕ )ndσ+F n (t)∂ν(∂uϕ n∂ν −u ∂ϕ )ndσ+F n (t).∂ν(5.23)Questa uguaglianza sarebbe una e.d.o. nell’incognita α n , se non fosse perl’integrale di frontiera, che appare non esprimibile in modo semplice intermini della stessa incognita. Però abbiamo ancora un grado di libertànella scelta di ϕ n , ossia le condizioni al bordo.Si noti che in realtà nell’integrale su ∂Ω contenuto nella (5.23), si haϕ n∂u∂ν ≡ 0,per la (5.19). Quindi per annullare l’integrale basterà assumere∂ϕ n(x) = 0, x ∈ ∂Ω, (5.24)∂νossia che ϕ n sia un’autofunzione del problema di Neumann. Siamo arrivatialla e.d.o.α ′ n(t) = −Dλ n α n (t)+F n (t). (5.25)La determinazione di α n risulta completa quando ricordiamo che devevalere la (5.20), per cui si avrà∫α n (0) = u 0 (x)ϕ n (x)dx. (5.26)ΩI problemi diCauchy (5.25)–(5.26) individuano i coefficienti della seriecherappresenta u, e quindi concludono, salvo la loro effettiva risoluzione, ilnostro metodo.Resta tuttavia una difficoltà piuttosto sottile, ma essenziale: gli argomentisvolti sopra dimostrano (con l’intesa che alcuni passaggi sarebbero ancorada rendere rigorosi) che la serie in (5.15) è una soluzione, se valgono(5.25)–(5.26). Non è invece chiaro che ogni soluzione possa essere rappresentatacome in (5.15). Considerando con attenzione la cosa, si vede