Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

194 DANIELE ANDREUCCIEsempio A.3. Il semiasse positivoE = {x ∈ R N | x 1 > 0,x 2 = 0,...,x N = 0},ha misura nulla se N > 1. Infatti: Fissiamo ε > 0, e definiamo le successionia k =k1∑nn=1(cosicché a k → ∞ se k → ∞), e}B k ={x ∈ R N | (x 1 − ε 1/N a k ) 2 +x2 2 +···+x2 N < ε2/Nk 2 .ValeB k ∩E = {x | x 1 ∈ I k ,x 2 = 0,...,x N = 0},ove I k = ( ε 1/N a k − ε 1/N /k, ε 1/N a k + ε 1/N /k ) . Si noti che gli I k coprono tutto il semiassepositivo, perché ‘si sovrappongono’ in parte:ε 1/N a k + ε1/Nk> ε 1/N a k + ε1/Nk+1 = ε1/N a k+1 , k ≥ 1.Perciò la prima delle (A.1) è soddisfatta; resta da provare la seconda, che segue subito da∞∑k=1|B k | =∞ε∑ ω Nk=1a patto di una inessenziale ridefinizione di ε.∞k N = ω Nε ∑k=11k N = C(N)ε,Osservazione A.4. La proprietà di un insieme di essere di misura nulla dipende dallospazio ambiente: per esempio il semiasse positivo non è certo di misura nulla in R. Unquadrato è di misura nulla in R 3 , ma non in R 2 , e così via.□OsservazioneA.5. Sipuòdimostrarechel’unionediunnumerofinitodiinsiemidimisuranulla, e anzi di una loro infinità numerabile, ha ancora misura nulla. □Definizione A.6. Si dice che una proprietà vale quasi ovunque (abbreviatoin q.o.) se l’insieme in cui non vale ha misura nulla. □In particolare date due funzioni f, g : R N → R, si dice chese e solo se l’insiemeha misura nulla in R N .f ≤ g q.o. in R N ,E = {x ∈ R N | f(x) > g(x)}A.2. Funzioni integrabiliUna funzione f : R N → R si dice misurabile secondo Lebesgue se esisteuna successione di funzioni continue ϕ n ∈ C(R N ) tale chelim ϕ n(x) = f(x), q.o. in R N . (A.2)n→∞Le funzioni continue a tratti sono misurabili.Esempio A.7. La funzione di Dirichlet{1, x è irrazionale,f(x) = χ R\Q (x) =0, x è razionale,□