Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

11.2. EQUAZIONE DI LAPLACE NEL SEMISPAZIO 117Siamo quindi condotti a cercare un nucleo di approssimazione, e unafunzione λ = λ(y), tali che∆ ϕ λ(y) (x) = 0. (11.22)Lasceltadi λcomefunzionediypuòesseredeterminatadaconsiderazionidi varia natura, o con i calcoli. Ricordando l’Osservazione 11.9, tentiamoconλ(y) = y, ϕ y (x) = 1 ( x)y N ϕ , x ∈ R N ,y > 0.y11.2.1. Calcolo di ϕ y . Resta da trovare ϕ, ossia da imporre (11.22). Limitiamoci persemplicità al caso N = 1. Si ha con calcoli diretti∆ ϕ y (x) = 1 {y 3 ϕ ′′( x)+ x2y y 2 ϕ′′( x)+4 x y y ϕ′( x) ( x+2ϕ = 0.y y)}Ponendo s = x/y, e considerando s come variabile indipendente, cosicché ϕ ′ = dϕ/ds, sihaϕ ′′ (s)+s 2 ϕ ′′ (s)+4sϕ ′ (s)+2ϕ(s) = 0, s ∈ R,ossiada cui per integrazione,ϕ ′′ (s)+ ( s 2 ϕ ′ (s) ) ′ +2(sϕ(s)) ′ = 0, s ∈ R,ϕ ′ (s)+s 2 ϕ ′ (s)+2sϕ(s) = ϕ ′ (0) = 0, s ∈ R.Si è posto ϕ ′ (0) = 0 perché, per motivi di simmetria, ci aspettiamo che ϕ y (x) sia pari in x.Quindiϕ ′ (s)+ ( s 2 ϕ(s) ) ′ = 0, s ∈ R,da cuiove ϕ(0) va scelto in modo cheDunque1 =+∞ ∫−∞ϕ(s)+s 2 ϕ(s) = ϕ(0), s ∈ R,ϕ(s)ds = ϕ(0)+∞ ∫ds1+s 2 = ϕ(0)π, cioè ϕ(0) = 1 π .−∞11+s 2 , ossia ϕ y(x) = 1 πϕ(s) = 1 πUn calcolo diretto mostra che{ 1∆ ϕ y (x) = ∆πyx 2 , x ∈ R,y > 0.+y2 y}x 2 +y 2 = 0,cioè che le ipotesi fatte su ϕ sono compatibili con la (11.22).Nel caso generale si haϕ y (x) = 2σ N+1y(|x| 2 +y 2 ) N+12. (11.23)Tornando alla (11.20) si hau(x,y) = 2 ∫yu 0 (ξ) dξ, (x,y) ∈ Q + , (11.24)σ N+1 (|x− ξ| 2 +y 2 ) N+1R N 2ove si è postoQ + = {(x,y) | x ∈ R N ,y > 0}.Concludiamo: la (11.19)ègarantita, perchéla ϕ soddisfale ipotesidell’Osservazione11.9. La (11.18) invece è conseguenza dell’uguaglianza (11.21);•