Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

106 DANIELE ANDREUCCIOsservazione 10.19. La(10.30) implica la (2.27), per una costante C dipendenteda t.In questo caso i dati d sono costituiti da una coppia di funzioni (u 0 ,u 1 ). Sinoti anche che la C data dalla (10.30) diverge quando t → ∞. Questo comportamentopuò verificarsi nei problemi di evoluzione temporale: piccoledifferenze nei dati iniziali portano a grandi differenze nelle soluzioni, selasciamo passare tempi abbastanza lunghi. Del resto accade la stessa cosaper le soluzioni della semplice e.d.o. y ′ (t) = y(t). □Osservazione 10.20. Risultati simili al Teorema 10.18 si possono ottenereanche in dimensione N > 1, per esempio a partire dalle formule dirappresentazione (10.14) e (10.28).□10.5. Soluzioni deboliSupponiamo di assegnare due dati u 0 e u 1 in (10.2), (10.3) che siano solodi classe C 0 .Il ragionamento svolto nella dimostrazione del Teorema 10.1 prova chenon può esisterein questo caso una soluzione di classe C 2 (Q ∞ )∩C 1 (Q ∞ ).Tuttavia, la funzione u data dalla formula di D’Alembert risulta definitaanche per u 0 e u 1 solo continue (e anche meno regolari, in realtà). Talefunzione u, perfino in questo caso, ha molte delle proprietà tipiche di unmoto ondoso.La dipendenza continua dimostrata nel Teorema 10.18 dà un altro puntodi vista su questo stesso fenomeno. Siano u 0 e u 1 come sopra, e siano u 0ne u 1n due successioni di funzioni regolari, per esempio in C 2 (R), tali chesupx∈R|u 0 (x)−u 0n (x)|+sup|u 1 (x)−u 1n (x)| ≤ a n , n ≥ 1,x∈Rcon a n → 0 se n → ∞. La relativa successione di soluzioni u n ∈ C 2 (Q ∞ )∩C 1 (Q ∞ ) di (10.1)–(10.3), soddisfa per ogni t > 0sup|u(x,t)−u n (x,t)| ≤ (1+t)a n ,x∈Roveuèlafunzionegiàdefinitasopra. Questafunzioneperciòrisultalimiteper n → ∞ di soluzioni di problemi di Cauchy i cui dati convergono a u 0e u 1 .Queste considerazioni ci motivano a definire soluzione debole del problema(10.1)–(10.3) la u data dalla (10.4), a prescindere da ogni richiesta diderivabilità, e addirittura di continuità, di u 0 , u 1 : basta che l’integrale diu 1 sia definito come un numero reale su ogni intervallo limitato di R. Sinotiche questesoluzionideboli nonsono neppurecontinue se u 0 non lo è.L’esistenza e l’unicità della soluzione debole, assegnati i dati u 0 e u 1 comeappena specificato, sono ovvie.Se i dati sono regolari come nel Teorema 10.1, la soluzione debole è anchedi classe C 2 (Q ∞ ) ∩ C 1 (Q ∞ ). Tuttavia le soluzioni deboli esistono sottoipotesi molto meno stringenti sui dati, e risultano perciò più comode damaneggiare.□