Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

6 DANIELE ANDREUCCIDunque quest’integrale è nullo, per i = 1, 2, 3. Consideriamo poi gliintegrali che appaiono nella parte quadratica dello sviluppo (1.12), in particolarequelli ove i ̸= j. Supponiamo per definitezza i = 1, j = 2. Vale,introducendo la variabile ζ = (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 ) = (z 1 ,−z 2 ,z 3 ),∫ ∫∫z 1 z 2 P(∆t,z)dz = ζ 1 (−ζ 2 )P 0 (∆t,|ζ|)dζ = − ζ 1 ζ 2 P(∆t, ζ)dζ,R 3 R 3 R 3ovesièancorausato(1.8). Perciòanchequestiintegralisononulli perogniscelta della coppia (i,j) con i, j = 1, 2, 3, con i ̸= j.Gli integrali dello stesso tipo, ma con i = j, risultano tutti uguali tra diloro, ossia∫ ∫ ∫z 2 1 P(∆t,z)dz = z 2 2 P(∆t,z)dz = z 2 3P(∆t,z)dz =: a(∆t).R 3 R 3 R 3Si ha infatti per esempio, ponendo ζ = (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 ) = (z 2 ,z 1 ,z 3 ),∫ ∫ ∫z 2 1 P(∆t,z)dz = z 2 1 P 0(∆t,|z|)dz = ζ2 2 P 0(∆t,|ζ|)dz.R 3 R 3 R 3Infine si ottiene, usando anche (1.9) nel primo termine del membro didestra di (1.12),f(x,t+ ∆t) = f(x,t)+ 1 2 a(∆t) ∆ f(x,t)+E 1(x,t, ∆t), (1.13)ove E 1 (x,t, ∆t) coincide con l’ultimo integrale di (1.12).D’altra parte, ancora per la formula di Taylor,f(x,t+∆t) = f(x,t)+ ∆t ∂f∂t (x,t)+R 2(x,t, ∆t). (1.14)Confrontando quindi (1.13) e (1.14), si ottiene∂f a(∆t)(x,t) = ∆ f(x,t)+ 1 ∂t 2∆t∆t {E 1(x,t, ∆t)−R 2 (x,t, ∆t)}. (1.15)Vogliamo prendere il limite ∆t → 0. Dobbiamo stipulare l’ipotesiH.4 Esiste un D > 0 tale chea(∆t)lim = D.∆t→0 2∆tInoltre dobbiamo assumere che f e P siano abbastanza regolari da avereE 1 (x,t, ∆t) Rlim = 2 (x,t, ∆t)0, lim = 0. (1.16)∆t→0 ∆t∆t→0 ∆tSostituendo queste relazioni in (1.15), si arriva subito ache è la classica equazione della diffusione.∂f(x,t) = D ∆ f(x,t), (1.17)∂t•