Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

124 DANIELE ANDREUCCIQuesto fenomeno è noto come propagazione con velocità infinita delle perturbazioni.Si noti che, per esempio, nel caso dell’equazione delle onde nonavviene niente del genere.È chiaro però che un modello ragionevole di diffusione non può predireche ci sia una consistente fuga di massa (o di calore) verso l’infinito inun tempo piccolo a piacere. Si noti infatti che la quantità in (11.41) èpiccolissima per t 0, |x| ≫ 1. In realtà la zona ove risulta confinataquasi tutta la massa si allarga con velocità finita (e anzi decrescente neltempo), come precisa il prossimo risultato.Proposizione 11.25. Per ogni 0 < ε < 1 esiste un C = C(ε) > 0 tale che∫∫u(x,t)dx ≥ (1−ε) u 0 (x)dx, (11.42)|x|≤C √ Dt+L|x|≤Lper ogni t e L positivi, e per ogni u 0 ≥ 0 e limitata su R N .Dimostrazione. Usandolaformuladirappresentazionesiha, fissato L >0, e per un C > 0 da scegliere,∫ ∫1u(4πDt) N 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4Dt dξdx2|x|≤C √ Dt+L R N∫ ∫1≥u(4πDt) N 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4Dt dξdx2|x|≤C √ Dt+L|ξ|≤L∫ { ∫1}= u 0 (ξ) e −(x−ξ)2(4πDt) N 4Dt dx dξ2|ξ|≤L|x|≤C √ Dt+L∫ { ∫ 1}= u 0 (ξ)e −z2 dz dξπ N 2|ξ|≤L |2z √ Dt+ξ|≤C √ Dt+L∫ { ∫ 1}≥ u 0 (ξ) e −z2 dz dξ,π N 2|ξ|≤L |z|≤ C 2ove si è usato che per |ξ| ≤ L vale{z | |z| ≤ C }⊂ {z | |2z √ Dt+ξ| ≤ C √ Dt+ L}.2Fissato ε > 0, esiste un C = C(ε) tale che∫1e −z2 dz ≥ 1 ∫π N 2|z|≤ C 2π N 2R N e −z2 dz−ε = 1−ε.Questo conclude la dimostrazione.□Applicando la (11.42) al caso di u 0 nullo al di fuori di B L (0), otteniamoche la massa, a meno di una frazione ε prefissata, resta confinata in unaregione che si allarga come t N/2 .