Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

18.3. SOLUZIONI DEBOLI DI EQUAZIONI NON REGOLARI 169ciascuna riempita da un materiale con diffusività a i ∈ (0, ∞), a 1 ̸= a 2 . Inquesto caso si haa(x) = a 1 χ Ω1 (x)+a 2 χ Ω2 (x), x ∈ Ω.È chiaro che (18.4) non ha soluzioni nel senso classico, se non altro perchéa(x) non è derivabile.In casi come questosi integra in modo formale per parti la e.d.p.,per ‘scaricare’su una funzione test alcune delle derivate, ossia quelle ‘eccessive’per la (scarsa) regolarità del problema. Moltiplichiamo dunque l’equazioneper una ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) e integriamo per parti come se tutte lederivate fossero continue. Si ha∫ T ∫0Ω{u t ϕ+a(x)∇u·∇ ϕ}dxdt =∫ T ∫0∂Ωϕa(x)∇u·νdσdt = 0, (18.7)ove si è usato il dato al bordo (18.5). Il nostro problema è quindi trovareuna u che soddisfi∫ T ∫0Ω{u t ϕ+a(x)∇u·∇ϕ}dxdt = 0, (18.8)per ogni ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) .Si noti che la (18.8) non contiene derivate di a. Resta da capire in qualeclasse di funzioni si deve cercare la soluzione u; si potrebbe vedere cheper esempio ∇u non può essere continuo; nella Sezione 18.4.5 torniamosulla questione. Qui diciamo solo che, per dare un significato all’integralenella (18.8), la continuità di ∇u è comunque superflua: basta che ∇u siauna funzione integrabile. Possiamo quindi cercare soluzioni deboli in unaclasse molto più vasta di quella delle soluzioni classiche.18.3.1. Dati al bordo e iniziali per soluzioni deboli. La (18.8), qualora sene richieda la validità per ogni ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) contiene non solo la e.d.p.(18.4), ma anche il dato di Neumann (18.5), che infatti è stato usato perricavarla. In altre parole, essa non sarebbe valida per una soluzione di(18.4) che, al posto di (18.5), soddisfacesse invecea(x)∇u·ν = f(x,t), su ∂Ω×(0,T), (18.9)per una generica funzione f; questo segue subito da (18.7).Osservazione18.6. Supponiamoinvecediindebolirela(18.8),richiedendoche valga non per tutte le ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) , ma solo per le ϕ ∈ C 1 ◦( Ω×[0,T] ) , ossia per le ϕ che si annullano in un intorno di ∂Ω. La (18.7)mostra che non occorre assumere la (18.5) per ottenere la (18.8) con lanuova restrizione su ϕ. Ossia, restringendo il campo di variazione dellefunzioni test ϕ, la stessa formulazione integrale (18.8) assume significatidiversi: in questosecondocaso in effettiequivale alla solae.d.p.(18.4). □Infine, osserviamo che alla (18.8) va unita la richiesta che la u soddisfila condizione iniziale (18.6); in quale senso preciso questo vada imposto