Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

112 DANIELE ANDREUCCITeorema 11.3. Sia f una funzione integrabile e limitata su R N . Allora in ognipunto x ∈ R N di continuità per f, si ha∫f ∗ ϕ λ (x) = f(x−y)ϕ λ (y)dy → f(x), λ → 0. (11.5)R NDimostrazione. Fissiamo x ∈ R N , ove f è continua, e ε > 0. Allora,usando (11.2) e (11.3) si ha∫f(x−y)ϕ λ (y)dy− f(x)∣∣R N ∫∫=[f(x−y)− f(x)]ϕ λ (y)dy∣∣ ≤ |f(x−y)− f(x)|ϕ λ (y)dyR N R∫∫N= |f(x−y)− f(x)|ϕ λ (y)dy+ |f(x−y)− f(x)|ϕ λ (y)dy|y|≤a=: I 1 (a)+ I 2 (a),|y|≥aove a > 0 verrà scelto sotto. Iniziamo con il limitare I 1 (a): si noti che per|y| ≤ a, vale |(x−y)−x| ≤ a. Dunque, per la continuità di f in x, sea = a(ε,x) è scelto in modo opportuno, si ottienePerciò, invocando (11.3),∫I 1 (a) ≤|f(x−y)− f(x)| ≤ ε, per ogni |y| ≤ a. (11.6)|y|≤a∫εϕ λ (y)dy ≤ εR N ϕ λ (y)dy = ε.A questo punto a > 0 risulta fissato. Allora, in virtù di (11.4), ponendoM = sup R N|f|,∫∫I 2 (a) ≤ 2Mϕ λ (y)dy = 2M ϕ λ (y)dy ≤ 2Mε, (11.7)|y|≥a|y|≥apur di prendere λ ≤ ¯λ, con ¯λ > 0 opportuno. Si noti che ¯λ dipende, inprincipio, da a e da ε, ma a sua volta a è stato fissato in dipendenza da ε eda x. Dunque ¯λ = ¯λ(ε,x).Riassumendo: abbiamo provatoche perognifissato ε > 0, esisteun ¯λ(ε,x)tale che∫f(x−y)ϕ λ (y)dy− f(x)∣∣ ≤ (2M+1)ε, se 0 < λ ≤ ¯λ. (11.8)R NQuesto dimostra la tesi.In effetti piccole modifiche alla dimostrazione del precedente risultatoconducono a□