Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

22 DANIELE ANDREUCCIRisultati di dipendenza continua sono ad esempio: i Teoremi 6.1, 6.5, 6.7,10.18, 4.7, 4.14, 4.22.2.7. Condizioni di compatibilitàLa regolarità possibile per le soluzioni di problemi ai valori iniziali e alcontorno dipende come è ovvio da quella dei dati del problema.Inoltre, nel caso di problemi posti in un dominio spaziale diverso da tuttolo spazio, possono nascere problemi di compatibilità tra i dati, in generesulla frontiera del dominio all’istante iniziale, a prescindere dalla regolaritàdi ciascuno dei dati iniziali e al contorno. Consideriamo per esempioil problemau tt −c 2 u xx = 0, a < x < b,t > 0, (2.28)u(x,0) = u 0 (x), a < x < b, (2.29)u t (x,0) = u 1 (x), a < x < b, (2.30)u(a,t) = α(t), t > 0, (2.31)u(b,t) = β(t), t > 0. (2.32)Supponiamo di cercare soluzioni di classe C 2( [a,b] × [0, ∞) ) . Intanto èsubito ovvio che dovrà essereu 0 ∈ C 2( [a,b] ) , u 1 ∈ C 1( [a,b] ) , α, β ∈ C 2( [0, ∞) ) . (2.33)C 0 : Inoltre, se la soluzione è continua nella chiusura del suo dominio didefinizione, deve essereu 0 (a) = α(0), u 0 (b) = β(0). (2.34)C 1 : Imponiamoorala regolarità C 1 : su x = a, x = b e t = 0siègiàassuntanella (2.33) la corrispondente regolarità dei dati. Come si è visto per la(2.34), i dati si ‘sovrappongono’ nei due estremi dell’intervallo iniziale.Quindi si deve richiedereu 1 (a) = α ′ (0), u 1 (b) = β ′ (0). (2.35)La u x (a,0) (per esempio) si può in effetti determinare come u0 ′ (a), manon è possibile ottenerla in altro modo in termini dei dati, e quindi nonnascono qui altre questioni di compatibilità tra i dati (le cose stanno inmodo diverso se si considera il problema di Neumann).C 2 : Infine, occupiamoci delle condizioni che nascono dalla richiesta dellaregolarità C 2 . Prendiamo per cominciare un punto (x,0) ∈ (a,b) ×{0}.Qui deve valereu tt (x,0) = c 2 u xx (x,0) = c 2 u 0(x), ′′ (2.36)ossia la u tt è determinata in modo diretto dal dato iniziale. Si noti chequesta determinazione è indipendente dagli altri dati e quindi non possononascerne questioni di compatibilità tra i dati. Si prenda invece il punto(a,0). Qui, proprio per la (2.36), deve essereu tt (a,0) = c 2 u xx (a,0) = c 2 u ′′0(a).