Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

182 DANIELE ANDREUCCI19.3. Esistenza e unicità di soluzioniSopra si è proceduto in modo formale; per esempio non è detto a prioriche il sistema differenziale che definisce le curve caratteristiche abbia soluzioni.Supponiamo allora che a, b, c ∈ C 1 (Q 1 ), con Q 1 aperto di R 3 ; unasoluzione u come in Definizione 19.1 risulterà allora definita in un apertoQ incluso nella proiezione di Q 1 sul piano (x,y).Teorema 19.2. Siano a, b, c ∈ C 1 (Q 1 ), e sia (¯x,ȳ) contenuto nella proiezione diQ 1 sul piano (x,y). Siano u e v due soluzioni dell’equazione (19.1) definite in unaperto A che contiene (¯x,ȳ), tali che u(¯x,ȳ) = v(¯x,ȳ). Sia C una caratteristicaal suolo per (¯x,ȳ), contenuta in A. Allora u e v coincidono su C.Dimostrazione. La curva caratteristica C nell’enunciato risulta parametrizzatada Φ 0 (τ) = (ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ)), τ ∈ J, con J opportunointervallo di R,ove Φ = (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ) è l’unica soluzione didxdτ = a(x,y),dydτ = b(x,y),dzdτ = c(x,y,z), (x(0),y(0),z(0)) = (¯x,ȳ, ¯z); (19.9)si è definito¯z = u(¯x,ȳ) = v(¯x,ȳ).Basta dimostrare che Φ(τ), τ ∈ J, giace su entrambi i grafici di u e v.Infatti allora risulteràu(Φ 0 (τ)) = ϕ 3 (τ) = v(Φ 0 (τ)), τ ∈ J. (19.10)Definiamo la curva Ξ = (ϕ 1 , ϕ 2 , ξ), oveξ(τ) = u(Φ 0 (τ)).A causa delle prime due equazioni differenziali di (19.9), si hadξdτ (τ) = dΦ 0dτ (τ)·∇u(Φ 0(τ)) = dϕ 1dτ (τ)u x(Φ 0 (τ))+ dϕ 2dτ (τ)u y(Φ 0 (τ))= [au x +bu y ](Φ 0 (τ)) = c ( ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ),u(Φ 0 (τ)) ) = c(ϕ 1 (τ), ϕ 2 (τ), ξ(τ)),ove nella penultima uguaglianza si è usata l’e.d.p.. Ne segue che Ξ risolveil problema di Cauchy (19.9), e quindi, per il teorema di unicità, devecoincidere con Φ. In particolare sono uguali le rispettive terze componentie dunque vale la prima delle (19.10). La seconda si dimostra nello stessomodo.□Dalla dimostrazione precedente segue subitoCorollario 19.3. Con la notazione e sotto le ipotesi di Teorema 19.2, si ha: se ilgrafico della soluzione u contiene il punto (¯x,ȳ, ¯z), allora contiene anche tutta laparte della caratteristica per tale punto che si proietta in A.In particolare si puòaffermare che i grafici delle soluzioni sono formati dacaratteristiche; ilgraficodellasoluzionedelproblemadiCauchyèformatodalle caratteristiche che escono dai punti della curva (Ψ(s),u 0 (s)), s ∈ I.