Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

64 DANIELE ANDREUCCI7.2. Funzioni ortogonali. Sistemi ortonormaliDefinizione 7.10. Due funzioni f e g si dicono ortogonali se∫(f,g) = f(x)g(x)dx = 0.Proposizione 7.11. Se le funzioniI{f 1 ,... , f n }sono ortogonali, e se ciascuna è non nulla, allora sono anche linearmente indipendenti.Dimostrazione. Se valen∑c i f i = 0, c i ∈ R,i=1segue, moltiplicando per f j , j ∈ {1,... ,n} fissato,n0 = ∑c i (f i , f j ) = c j (f j , f j ) = c j ‖f j ‖ 2 .i=1Dato che f j ̸= 0 per ipotesi, segue che c j = 0, per ogni j ∈ {1,... ,n}. □Corollario 7.12. Lo spazio L 2 (I) ha dimensione infinita come spazio vettoriale.Dimostrazione. Per semplicità svolgiamo la dimostrazione solo nel casoN = 1. Non è poi restrittivo considerare solo il caso in cui I è limitato.Infine, ci possiamo sempre ricondurre al caso in cui I = (−π, π), conopportune trasformazioni lineari affini di coordinate. Si consideri allorala successione f n (x) = cos(nx), per n ≥ 1. Si verifica subito che questasuccessioneèortogonale;quindi costituisce un sistemainfinito di funzionilinearmente indipendenti, per la Proposizione 7.11. □Definizione 7.13. Una successione (finita o infinita) {ϕ n } di funzioni sidice un sistema ortonormale se per ogni scelta di n e m vale{0, n ̸= m,(ϕ n , ϕ m ) =(7.11)1, n = m.La seguente Proposizione è in un certo senso un’inversa della Proposizione7.11.Proposizione 7.14. (Gram-Schmidt) Sia V ⊂ L 2 (I) generato da una successione(finita o no) di funzioni linearmente indipendenti {f n }. Allora V è anchegenerato dal sistema ortonormale {ϕ n } (conlostesso numerodi elementi di {f n })definito daoveψ 1 = f 1 ,ϕ n = ψ n, n ≥ 1, (7.12)‖ψ n ‖n−1ψ n = f n −∑i=1□□(f n , ϕ i )ϕ i , n ≥ 2. (7.13)