Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

9.3. IL SISTEMA ORTONORMALE SBAGLIATO 87oveiγ n sonoicoefficientidellosviluppoinseriedicosenideldatoiniziale,ossiaγ 0 = − π6D , γ n = 2(−1)n+1πn 2 D , n ≥ 1.I corrispondentiproblemi di Cauchy per le α n si risolvono senza difficoltà,ottenendoα 0 (t) = 1 (1− γπ2 )(e γt −1)+γ 0 ,γπ 6Dα n (t) =2(−1)n+1 γπn 2 D(n 2 D+γ) (eγt −e −n2 Dt )+γ n e −n2 Dt , n ≥ 1.Lo sviluppo in serie della v quindi è stato ottenuto.Infine, la u è data dau(x,t) = x22πD eγt + 1γπ[+∞∑n=1(1− γπ2 )(e γt −1)+γ 06D(9.16)2(−1) n+1 γπn 2 D(n 2 D+γ) (eγt −e −n2 Dt )+γ n e −n2 Dt ] cos(nx).9.3. Il caso ‘sbagliato’: il sistema ortonormale non rispetta lecondizioni al contornoConsideriamo il problemau t −Du xx = 1, 0 < x < π,0 < t < T, (9.17)−Du x (0,t) = 0, 0 < t < T, (9.18)Du x (π,t) = 0, 0 < t < T, (9.19)u(x,0) = 0, 0 < x < π. (9.20)Questo problema ha per unica soluzioneu(x,t) = t; (9.21)si noti che la (9.21) è in realtà anche lo sviluppo in serie di coseni di u.Se cerchiamo lo sviluppo di u nel sistema ortonormale ‘sbagliato’, peresempioinquelloS deiseni,ricaviamoaposteriori, cioèusandolasoluzioneespressa in forma esplicita dalla (9.21),u(x,t) =∞∑ α n tsin(nx), α n := 2πn [1−(−1)n ]. (9.22)n=1Se però cercassimo di ottenere lo sviluppo (9.22) prima di conoscere la soluzione,con il metodo illustrato nella Sezione 5.3, non potremmo arrivare ascrivere i problemi di Cauchy (5.25), (5.26), perché non vale la (5.24).Come ultima osservazione, sempre supponendo di ricercare una possibileequazione differenziale risolta dai coefficienti di (9.22), applichiamo aquesti coefficienti l’operatore differenziale di (5.25):ddt (α nt)+n 2 D(α n t) = α n +n 2 Dα n t = 4 nDt, per n dispari. (9.23)π