Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

170 DANIELE ANDREUCCIdipenderà dalla regolarità di u. Se per esempio u e u 0 sono continue, sirichiederà che (18.6) valga nel classico senso puntuale, cioèlim u(x,t) = u 0(x 0 ).(x,t)→(x 0 ,0)Se u 0 ̸∈ C(Ω), le cose sicomplicano, ma si possonoancora sistemare(vediSottosezione 18.4.4).•18.3.2. Unicità di soluzioni deboli. L’idea della dimostrazione dell’unicitàdi soluzioni deboli è la stessausata nel Teorema6.6, e nel Teorema18.5.La ripercorriamo qui perché ci permette di discutere ancora la definizionedi soluzione debole.Questa definizione andrà posta in modo che risulti rigoroso il seguenteargomento:Siano u 1 e u 2 due soluzioni deboli di (18.4)–(18.6). Poniamo z = u 1 −u 2 .Per linearità, z risolve (18.8) per ogni ϕ ∈ C 1( Ω×[0,T] ) , e corrispondeal dato iniziale z(x,0) ≡ 0. Prendiamo ϕ = z in (18.8). Questo in effettiè un punto critico, perché abbiamo detto che u 1 , u 2 ̸∈ C 1 (Q T ), mentrele funzioni test ϕ sono state scelte di classe C 1 . La difficoltà si risolveosservando che quest’ultima restrizione è di fatto eccessiva: l’integralein (18.8) ha senso anche se ∇ ϕ non è continuo, purché a∇u · ∇ ϕ siaintegrabile. In sostanza bisogna quindi richiedere che |∇u i | ∈ L 2 (Q T ).Ladimostrazionesicompletaintegrandoperpartiiltermineconladerivatatemporale (per la quale del resto in principio varrebbero considerazionisimili a quelle svolte per il gradiente spaziale). Si ha0 =∫ T ∫0Ω{z t z+a(x)|∇z| 2 }dxdt= 1 2∫Ωz(x,T) 2 dx+∫ T ∫0Ωa(x)|∇z| 2 dxdt.Segue che z(x,T) ≡ 0; d’altra parte questo argomento si può ripeteresostituendo a T un qualsiasi istante 0 < t < T, e quindi z ≡ 0 in Ω×(0,T).•18.4. Un caso concreto di ricerca di soluzioni deboliConsideriamo il problemau t − ( a(x)u x)x = 0, in Q T = (0,L)×(0,T), (18.10)a(0)u x (0,t) = 0, 0 < t < T, (18.11)a(L)u x (L,t) = 0, 0 < t < T, (18.12)u(x,0) = u 0 (x), 0 < x < L. (18.13)Questo è il caso unidimensionale del problema (18.4)–(18.6). Qui a èmisurabile e limitata su R, ed esistono due costanti A 0 > a 0 > 0 talicheA 0 ≥ a(x) ≥ a 0 , x ∈ R. (18.14)