Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

206 DANIELE ANDREUCCIQuesta espressione ha senso per rsin θ ̸= 0, ma sappiamo del resto che incaso contrario il cambiamento dicoordinatepresentadellesingolarità (peresempio lo iacobiano si annulla).Infine si scelgaC(ω) = (rcos ϕsin(θ+ω),rsin ϕsin(θ+ ω),rcos(θ+ ω)), 0 ≤ ω ≤ h,in modo che C risulti un arco di meridiano e il suo vettore tangente siaru 3 . Quindi∫ hf(r, ϕ, θ+h)− f(r, ϕ, θ) = re si ottiene nel solito modoRiassumendo0∇f ·u 3 = 1 r∇f(r, ϕ, θ+ω)·u 3 (ϕ, θ+ω)dω,∂f∂θ .∇f = ∂f∂r u 1+ 1 ∂frsin θ ∂ϕ u 2+ 1 ∂fr ∂θ u 3.(B.9)B.2.2. Divergenza in coordinate sferiche. Usiamo la proprietà (teoremadella divergenza)∫ ∫divFdV = F·νdσ, (B.10)Ωove Ω è un qualunque aperto limitato con frontiera regolare, e ν è lanormale esterna a tale frontiera. Usiamo nel seguito la scomposizionedi FF = F r u 1 +F ϕ u 2 +F θ u 3 . (B.11)PrendiamoΩ = {(x,y,z) | ¯r ≤ r ≤ ¯r+h r , ¯ϕ ≤ ϕ ≤ ¯ϕ+h ϕ , ¯θ ≤ θ ≤ ¯θ+h θ },con (¯r, ¯ϕ, ¯θ) fissato ad arbitrio, e h r , h ϕ , h θ > 0 piccoli. Riscrivendo (B.10)in coordinate sferiche, si ottieneove¯r+h ∫ r¯r¯ϕ+h ϕ ∫¯ϕI r =¯θ+h ∫ θ¯θ∂ΩdivFr 2 sin θdrdϕdθ = I r + I ϕ + I θ ,∫∂Ω∩{r=¯r+h r }F r dσ−∫∂Ω∩{r=¯r}F r dσ,(B.12)e I ϕ , rispettivamente I θ , è definito in modo analogo, scambiando r con ϕ,rispettivamente con θ. Infatti la frontiera di Ω, per la definizione di Ω,risulta composta da porzioni di superficie regolari, e su ciascuna porzioneuna delle coordinate sferiche è costante; dunque la normale a tale porzionedi frontiera è uno dei vettori u i . Raccogliendo gli integrali sulle dueporzioniove risultacostantela stessacoordinata(per esempiola r nelcasodi I r ) si ottengono appunto I r , I ϕ , I θ .•