Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

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146 DANIELE ANDREUCCILe trasformate di derivate di ordine superiore si possono ottenere reiterandoquesto risultato; per esempio, per ω ∈ RF[f ′′ ](ω) = −iωF[f ′ ](ω) = (−iω)(−iω)F[f](ω) = −ω 2 F[f](ω).(14.3)•14.2.3. Antitrasformazione. Se f è integrabile su R e localmente lipschitzianain R, allora, per ogni x ∈ R,f(x) = 12π limk→∞Allora, se F[f] è integrabile su R, si può scriveref(x) = 12π∫ ∞−∞∫ k−ke −iωx F[f](ω)dω. (14.4)e −iωx F[f](ω)dω, (14.5)che costituisce la formula di inversione della trasformata di Fourier.14.2.4. Trasformazione di convoluzioni. Se f, g, e f ∗ g sono integrabilisu R,F[f ∗g] = F[f]F[g]. (14.6)Dimostrazione. Vale, per definizione di F,F[f ∗g] =∫+∞∫+∞e iωx−∞−∞=f(x−y)g(y)dydx =∫+∞∫+∞−∞ −∞∫+∞∫+∞−∞ −∞e iωx f(x−y)g(y)dxdye iωy e iωz f(z)g(y)dzdy = F[f](ω)F[g](ω).14.2.5. Cambiamenti di variabili. Vale, se f è integrabile su R, e a ̸= 0, bsono numeri reali,F[f(ax−b)](ω) = 1 ( ) ω|a| eiωb a F[f] , ω ∈ R. (14.7)a•□•Dimostrazione. Infatti∫ ∞−∞e iωx f(ax−b)dx = 1|a|∫ ∞−∞e iω(y a +b a ) f(y)dy = 1 ( ) ω|a| eiωb a F[f] .a□•
14.3. APPLICAZIONE PER L’EQUAZIONE DEL CALORE 14714.2.6. Derivazione di trasformate. Definiamo g(x) = xf(x), x ∈ R. Se fe g sono integrabili su R, allora F[f] è derivabile in R edF[f](ω) = F[ig](ω) = F[ixf(x)](ω).dω (14.8)•14.3. Applicazione per la risoluzione del problema di Cauchy perl’equazione del caloreConsideriamo il problema di Cauchy per l’equazione del caloreu t −u xx = 0, − ∞ < x < ∞,t > 0, (14.9)u(x,0) = u 0 (x), − ∞ < x < ∞, (14.10)ove u 0 è una funzione continua e limitata su R. Richiediamo anche che usia limitata.Come nel Capitolo 11, cerchiamo una soluzione nella formau(x,t) = ψ∗u 0 (x,t) =∫ ∞−∞ψ(x−ξ,t)u 0 (ξ)dξ,ove ψ va determinata. Lo faremo qui con un argomento indipendenteda quello svolto nella Sottosezione 11.3.2. Ricordiamo che {ψ(·,t)} è unafamiglia dinucleidiapprossimazioneper t → 0+ (sivedalaSezione11.1).Riscriviamo dunque la (14.9) come∂∂t ψ∗u 0− ∂2∂x 2 ψ∗u 0 = ψ t ∗u 0 − ψ xx ∗u 0 = 0,e applichiamo la trasformazione di Fourier in x; nel seguito intendiamosempre che F è la trasformata di Fourier in x. Usando le proprietà (14.3)e (14.6) si ottieneper ω ∈ R, t > 0. Visto cheF[ψ t ](ω,t) =∫+∞−∞si ha da (14.11), ponendoF[ψ t ]F[u 0 ]+ω 2 F[ψ]F[u 0 ] = 0, (14.11)e iωx ψ t (x,t)dx = ∂ ∂t∫+∞−∞G(ω,t) = F[ψ](ω,t),e iωx ψ(x,t)dx = ∂ ∂t F[ψ](ω,t),cheG t (ω,t) = −ω 2 G(ω,t), −∞ < ω < ∞,t > 0. (14.12)Da qui segue subito cheG(ω,t) = G(ω,0)e −ω2t , −∞ < ω < ∞,t ≥ 0. (14.13)D’altra parte, visto che u = ψ∗u 0 → u 0 per t → 0, dovremo avereF[u](ω,t) = F[ψ](ω,t)F[u 0 ](ω) → F[u 0 ](ω), t → 0,ossia G(ω,0) = 1. DunqueG(ω,t) = e −ω2t , −∞ < ω < ∞,t ≥ 0. (14.14)
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