Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

15.3. APPLICAZIONI ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 153Infatti, si ha per la definizione di convoluzioneh∗k(x) =∫ ∞−∞h(x−ξ)k(ξ)dξ,ove tuttavia l’integrando è nullo per ξ < 0 (perché k(ξ) = 0), e per ξ > x(perché h(x−ξ) = 0). Questo dà subito la (15.8). □15.3. Applicazioni alle equazioni differenziali ordinarieConsideriamo il problema di Cauchy per e.d.o.:y ′′ −3y ′ +2y = f(x), x > 0, (15.9)y(0) = 0, (15.10)y ′ (0) = 0, (15.11)ove f ∈ C([0, ∞)).Applichiamo la trasformazione di Laplace alla e.d.o., denotandocon Y [F]la trasformata di y [f]. Si ottiene per le (15.3) e (15.4)s 2 Y(s)−3sY(s)+2Y(s) = F(s),da cuiF(s)Y(s) =s 2 −3s+2 , (15.12)ove il denominatore è senz’altro positivo per s > 2; infattis 2 −3s+2 = (s−1)(s−2).Invochiamo ora la (15.6), e otteniamo (si veda anche l’Osservazione 15.3)y(x) = ψ∗ f(x) =∫ x0ψ(x−ξ)f(ξ)dξ, (15.13)se denotiamo con ψ l’antitrasformata del denominatore di (15.12).La y data dalla (15.13) non è altro che la soluzione particolare della e.d.o.in(15.9)ottenutaconilmetododelnucleorisolvente; ilnucleorisolventeKinfatti coincide con ψ. Verifichiamo questo fatto. È noto che K può esseredefinito (per e.d.o. a coefficienti costanti) come la soluzione diK ′′ −3K ′ +2K = 0, x > 0, (15.14)K(0) = 0, (15.15)K ′ (0) = 1, (15.16)che può essere ottenuta con il metodo dell’equazione caratteristica (o ancoracon la trasformazione di Laplace). Si ottieneK(x) = e 2x −e x . (15.17)Controlliamo che L[K] assuma il valore desiderato: per s > 2 si haL[K](s) =e quindi ψ = K.∫ ∞0e −sx (e 2x −e x )dx = − 12−s + 11−s = 1s 2 −3s+2 ,